На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула
(x ∈ P) ∧ (x ∉ Q) ∧ (x ∈ A)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 7]
2) [8, 15]
3) [15, 20]
4) [7, 20]
Логическое И ложно, если ложно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∉ Q) ≡ ¬Q.
Исходная конъюнкция равносильна конъюнкции P∧¬Q∧A. Выражение P∧¬Q ложно тогда, когда x∈(– ∞,5);[10,∞). Выражение A должно быть ложно на интервале [5;10]. Поскольку все выражение должно быть ложно для ЛЮБОГО x, следовательно, выражение A должно быть истинно на любом промежутке, ни один элемент которого не содержится в отрезке [5;10]. Из всех отрезков только отрезок [15;20] удовлетворяет этому условию.
Правильный ответ указан под номером 3.
Если разложить отрезки на декартову систему координат, то получается что промежуток А не должен быть внутри промежутка [10;15], т.к. тогда Х будет принадлежать всем 3ём промежуткам, а следовательно в итоге будет 1(истина). Таким образом мы исключили 2 ответа и у нас осталось 2, это:
[0;7] и [15;20]
И вот тут у меня возник вопрос, учитываете ли Вы то, что скобки квадратные, т.е. точка включается, если да, тогда при Х=15 решения нет(=1), а если не учитываете, то каким образом выделить из этих двух ответов правильный, ведь тогда оба подходят.
Для того, чтобы исходное выражение было истинным, точка должна одновременно принадлежать всем трём интервалам. На рисунке изображены промежутки P и ¬Q. Ни одна точка из интервала [5, 10) не должна принадлежать промежутку A.
Отрезок [0, 7] не подходит, поскольку в таком случае на отрезке [5, 7] исходное выражение будет истинным. В точке 15 исходное выражение не будет истинным: верными будут только скобки (x ∈ P) и (x ∈ A).