Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 4, а во второй - 3 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок или утраивает число камней в какой-то куче, или добавляет 1 камень в какую-то кучу. Игра завершается в тот момент, когда общее количество камней в двух кучах становится не менее 20. Если в момент завершения игры общее число камней в двух кучах не менее 35, то выиграл Ваня, в противном случае - Петя. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков? Укажите, стратегию выигрывающего игрока - какой ход он должен сделать в каждой из позиций, которые могут ему встретиться при правильной игре. Докажите, что описанная стратегия - выигрышная.
Содержание верного ответа и указания по оцениванию (допускаются иные формулировки ответа, не искажающие его смысла)
Выигрывает Петя. Для того, чтобы выиграть, он должен утроить количество камней во второй куче.
Для доказательства рассмотрим неполное дерево игры, оформленное в виде таблицы, где в каждой ячейке записаны пары чисел, разделённые запятой. Эти числа соответствуют количеству камней на каждом этапе игры в первой и второй кучах соответственно.
| 1 ход | 2 ход | 3 ход |
| Петя (выигрышный ход) | Ваня (все варианты) | Петя (выигрышный ход) |
| 4,9 | ||
| 12,9 | Петя выиграл | |
| 4,27 | Петя выиграл | |
| 5,9 | 15,9 | Петя выиграл |
| 5,27 | ||
| 4,10 | 12,10 | Петя выиграл |
| 4,30 | ||
Таблица содержит все возможные варианты ходов второго игрока. Из неё видно, что при любом ходе второго игрока у первого имеется ход, приводящий к победе. Причём у первого игрока есть два варианта выигрышного хода. Описание любого из них является правильным решением.