Обо­зна­чим R(n)  — ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые пре­об­ра­зу­ют число 2 в число n. Обо­зна­чим t(n) наи­боль­шее крат­ное 5, не пре­вос­хо­дя­щее n. За­ме­тим, что нечётные числа мы никак по­лу­чить не можем. Обе ко­ман­ды ис­пол­ни­те­ля уве­ли­чи­ва­ют ис­ход­ное число, по­это­му общее ко­ли­че­ство ко­манд в про­грам­ме не может пре­вос­хо­дить (50 − 2) : 2  =  24.

Верны сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния.

1.  Если n не де­лит­ся на 10, то тогда R(n)  =  R(t(n)), так как су­ще­ству­ет един­ствен­ный спо­соб по­лу­че­ния n из t(n)  — при­бав­ле­ни­ем двоек.

2.  Пусть n де­лит­ся на 5.

Тогда R(n)  =  R(n : 5) + R(n – 2)  =  R(n : 5) + R(n – 10) (если n > 10).

При n  =  10 R(n)  =  2 (два спо­со­ба: при­бав­ле­ни­ем четырёх двоек или од­но­крат­ным умно­же­ни­ем на 5).

По­это­му до­ста­точ­но по­сте­пен­но вы­чис­лить зна­че­ния R(n) для всех чисел, крат­ных де­ся­ти и не пре­вос­хо­дя­щих 50: сна­ча­ла вы­чис­ля­ем R(2), затем R(10), R(20) и так далее.

Имеем:

R(2)  =  1  =  R(4)  =  R(6)  =  R(8);

R(10)  =  2  =  R(2) + R(8);

R(20)  =  R(4) + R(10)  =  1 + 2  =  3  =  R(22)  =  R(28);

R(30)  =  R(6) + R(20)  =  1 + 3  =  4  =  R(32)  =  R(38);

R(40)  =  R(8) + R(30)  =  1 + 4  =  5  =  R(42)  =  R(48);

R(50)  =  R(10) + R(40)  =  2 + 5  =  7.

Ответ: 7.

Дру­гая форма ре­ше­ния.

Будем ре­шать по­став­лен­ную за­да­чу по­сле­до­ва­тель­но для чисел 2, 4, 6, 50 (то есть для каж­до­го из чисел опре­де­лим, сколь­ко про­грамм ис­пол­ни­те­ля су­ще­ству­ет для его по­лу­че­ния). За­ме­тим, что нечётные числа мы никак по­лу­чить не можем. Ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые пре­об­ра­зу­ют число 2 в число n, будем обо­зна­чать через R(n). Число 2 у нас уже есть, зна­чит, его можно по­лу­чить с по­мо­щью «пу­стой» про­грам­мы. Любая не­пу­стая про­грам­ма уве­ли­чит ис­ход­ное число, то есть даст число, боль­ше 2. Зна­чит, R(2)  =  1. Для каж­до­го сле­ду­ю­ще­го числа рас­смот­рим, из ка­ко­го числа оно может быть по­лу­че­но за одну ко­ман­ду ис­пол­ни­те­ля. Если число не де­лит­ся на пять, то оно может быть по­лу­че­но толь­ко из преды­ду­ще­го с по­мо­щью ко­ман­ды при­бавь 2. Зна­чит, ко­ли­че­ство ис­ко­мых про­грамм для та­ко­го числа равно ко­ли­че­ству про­грамм для преды­ду­ще­го воз­мож­но­го числа:

Если число на пять де­лит­ся, то ва­ри­ан­тов по­след­ней ко­ман­ды два: при­бавь 2 и умножь на 5, тогда За­пол­ним со­от­вет­ству­ю­щую таб­ли­цу по при­ведённым фор­му­лам слева на­пра­во:

При этом ячей­ки, от­но­ся­щи­е­ся к чис­лам, ко­то­рые не де­лят­ся на 5, можно в ре­ше­нии и опу­стить (за ис­клю­че­ни­ем пер­во­го числа):

Ответ: 7.

При­ведём ре­ше­ние Б. С. Мих­ли­на на языке Python.