Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния:

При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции, по­лу­ча­ем:

Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние. Наи­боль­ший ин­тер­вал, на ко­то­ром ¬(P ∨ A) ис­тин­но, по­лу­чит­ся, если от­ре­зок A по­па­да­ет внутрь от­рез­ка P. Тогда это вы­ра­же­ние ис­тин­но на ин­тер­ва­ле (−∞; 8) ∪ (39; ∞). Также не­об­хо­ди­мо, чтобы вы­ра­же­ние (Q ∨ A) было ис­тин­но на от­рез­ке [8; 39]. По­сколь­ку Q  =  [23, 58], можно взять по­лу­ин­тер­вал A  =  [8, 23). Зна­чит, наи­мень­шая воз­мож­ная длина ин­тер­ва­ла A равна 23 − 8  =  15.

Ответ: 15.

При­ме­ча­ние.

О длине от­рез­ка на­пи­са­но в при­ме­ча­нии к за­да­че 11119.