ЕГЭ–2026, информатика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 20 № 27766 Добавить в вариант

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень, увеличить количество камней в первой куче в два раза или увеличить количество камней во второй куче в три раза. Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой  — 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 27). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 69. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 69 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, 1 ≤ S ≤ 58.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока  — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.

Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

—  Петя не может выиграть за один ход;

—  Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.

Спрятать решение

Решение.

Возможные значения S: 16, 19. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако при S  =  16 Петя может получить позицию (20, 16), а при S  =  19  — позицию (11, 19).

В первом случае после хода Вани возникнет одна из позиций (21, 16), (40, 16), (20, 17), (20, 48), во втором случае  — одна из позиций (12, 19), (22, 19), (11, 20), (11, 57). В любой из перечисленных позиций Петя может выиграть, утроив количество камней во второй куче.

Таким образом, ответ  — 1619.

Ответ: 1619.

Приведём другое решение на языке Python.

def f(x, y, h):

if h == 4 and x + y >= 69:

return 1

elif h == 4 and x + y < 69:

return 0

elif x + y >= 69 and h < 4:

return 0

else:

if h % 2 != 0:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x, y * 2, h + 1) or f(x * 3, y, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, y, h + 1) and f(x, y + 1, h + 1) and f(x, y * 2, h + 1) and f(x * 3, y, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(1, 59):

if f(x, 10, 1) == 1:

print("Задача 20:", x)

Аналоги к заданию № 27766: 27769 Все

Раздел кодификатора ФИПИ: 1.5.2 Цепочки, деревья, списки, графы, матрицы, псевдослучайные последовательности

Спрятать решение · Помощь

Тип 19 № 27765 Добавить в вариант

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень, увеличить количество камней в первой куче в два раза или увеличить количество камней во второй куче в три раза. Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 27). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, 1 ≤ S ≤ 58.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Аналоги к заданию № 27765: 27768 Все

Решение · Помощь

Тип 21 № 27767 Добавить в вариант

ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче  — S камней, 1 ≤ S ≤ 58.

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение.

Возможное значение S: 18. После первого хода Пети возможны позиции (11, 18), (20, 18), (10, 19), (10, 54). В позициях (20, 18) и (10, 54) Ваня может выиграть первым ходом, утроив количество камней во второй куче. Из позиций (11, 18) и (10, 19) Ваня может получить позицию (11, 19), в этом случае после хода Пети возникает одна из позиций (12, 19), (22, 19), (11, 20), (11, 57). В любой из перечисленных позиций Ваня может выиграть, утроив количество камней во второй куче.

Таким образом, ответ  — 18.

Ответ: 18.

Приведём другое решение на языке Python.

Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:

def f(x, y, h):

if (h == 3 or h == 5) and x + y >= 69:

return 1

elif h == 5 and x + y < 69:

return 0

elif x + y >= 69 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x + 1, y, h + 1) or f(x, y + 1, h + 1) or f(x, y * 2, h + 1) or f(x * 3, y, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f(x + 1, y, h + 1) and f(x, y + 1, h + 1) and f(x, y * 2, h + 1) and f(x * 3, y, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

def f1(x, y, h):

if h == 3 and x + y >= 69:

return 1

elif h == 3 and x + y < 69:

return 0

elif x + y >= 69 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x + 1, y, h + 1) or f1(x, y + 1, h + 1) or f1(x, y * 2, h + 1) or f1(x * 3, y, h + 1) # стратегия победителя

else:

return f1(x + 1, y, h + 1) and f1(x, y + 1, h + 1) and f1(x, y * 2, h + 1) and f1(x * 3, y, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)

for x in range(1, 59):

if f(x, 10, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(1, 59):

if f1(x, 10, 1) == 1:

print(x)

Аналоги к заданию № 27767: 27770 Все

Решение · Помощь