Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в четыре раза. Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (24, 9), (6, 10), (6, 36). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 82. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 82 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 4 камня, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 77.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантируют выигрыш независимо от игры противника.
Выполните следующие задания.
Задание 1.
а) Назовите все значения S, при которых Петя может выиграть первым ходом.
б) Петя сделал неудачный первый ход, после которого Ваня выиграл своим первым ходом. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.
Задание 2. Укажите такое значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети
Задание 3. Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). В узлах дерева указывайте игровые позиции. Дерево не должно содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не будет верным ответом на это задание.
1. а) Петя может выиграть первым ходом, если S = 20, …, 77. Для выигрыша достаточно умножить количество камней во второй куче. При меньших значениях S за один ход нельзя получить 82 или более камней в двух кучах.
б) Такая ситуация возможна при S = 5. Если Петя умножит вторую кучу, получится позиция (4, 20), из которой Ваня может получить позицию (4, 80) и выиграть. При S < 5 никакой первый ход Пети не создаст ситуацию, в которой Ваня может сразу выиграть.
2. Возможные значения S: 16, 19. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако при S = 16 Петя может получить позицию (16, 16), а при S = 19 — позицию (5, 19).
В первом случае после хода Вани возникнет одна из позиций (17, 16), (64, 16), (16, 17), (16, 64), во втором случае — одна из позиций (6, 19), (20, 19), (5, 20), (5, 76). В любой из перечисленных позиций Петя может выиграть, умножив количество камней во второй куче.
3. Возможное значение S: 18. После первого хода Пети возможны позиции (5, 18), (16, 18), (4, 19), (4, 72). В позициях (16, 18) и (4, 72) Ваня может выиграть первым ходом, умножив количество камней в любой куче. Из позиций (5, 18) и (4, 19) Ваня может получить позицию (5, 19), разобранную в задании 2. Игрок, после хода которого возникла эта позиция (в данном случае — Ваня), выигрывает следующим ходом.
В таблице изображены возможные партии при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) выделены жирным шрифтом. На рисунке эти же партии показаны в виде графа (оба способа изображения допустимы).
Рис. 1. Граф всех партий, возможных при описанной стратегии Вани. Ходы Пети показаны сплошными стрелками, ходы Вани — пунктирными стрелками. Заключительные позиции обозначены прямоугольниками.