Два иг­ро­ка, Петя и Ваня, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежит куча кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Петя. За один ход игрок может до­ба­вить в кучу один или че­ты­ре камня либо уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в пять раз. На­при­мер, имея кучу из 15 кам­ней, за один ход можно по­лу­чить кучу из 16, 19 или 75 кам­ней. У каж­до­го иг­ро­ка, чтобы де­лать ходы, есть не­огра­ни­чен­ное ко­ли­че­ство кам­ней. Игра за­вер­ша­ет­ся в тот мо­мент, когда ко­ли­че­ство кам­ней в куче ста­но­вит­ся не менее 68.

По­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход, т. е. пер­вым по­лу­чив­ший кучу, в ко­то­рой будет 68 или боль­ше кам­ней. В на­чаль­ный мо­мент в куче было S кам­ней; 1 ≤ S ≤ 67.

Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка. Опи­сать стра­те­гию иг­ро­ка  — зна­чит, опи­сать, какой ход он дол­жен сде­лать в любой си­ту­а­ции, ко­то­рая ему может встре­тить­ся при раз­лич­ной игре про­тив­ни­ка. В опи­са­ние вы­иг­рыш­ной стра­те­гии не сле­ду­ет вклю­чать ходы иг­ра­ю­ще­го по этой стра­те­гии иг­ро­ка, не яв­ля­ю­щи­е­ся для него без­услов­но вы­иг­рыш­ны­ми, т. е. не яв­ля­ю­щи­е­ся вы­иг­рыш­ны­ми не­за­ви­си­мо от игры про­тив­ни­ка.

Вы­пол­ни­те сле­ду­ю­щие за­да­ния. Во всех слу­ча­ях обос­но­вы­вай­те свой ответ.

Вы­пол­ни­те сле­ду­ю­щие за­да­ния.

За­да­ние 1

а)  Ука­жи­те все такие зна­че­ния числа S, при ко­то­рых Петя может вы­иг­рать за один ход.

б)  Ука­жи­те такое зна­че­ние S, при ко­то­ром Петя не может вы­иг­рать за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может вы­иг­рать своим пер­вым ходом. Опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Вани.

За­да­ние 2

Ука­жи­те два таких зна­че­ния S, при ко­то­рых у Пети есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, причём од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия:

— Петя не может вы­иг­рать за один ход;

— Петя может вы­иг­рать своим вто­рым ходом не­за­ви­си­мо от того, как будет хо­дить Ваня.

Для каж­до­го ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Пети.

За­да­ние 3

Ука­жи­те зна­че­ние S, при ко­то­ром од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­ют­ся два усло­вия:

— у Вани есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия, поз­во­ля­ю­щая ему вы­иг­рать пер­вым или вто­рым ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стра­те­гии, ко­то­рая поз­во­лит ему га­ран­ти­ро­ван­но вы­иг­рать пер­вым ходом.

Для ука­зан­но­го зна­че­ния S опи­ши­те вы­иг­рыш­ную стра­те­гию Вани. По­строй­те де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при этой вы­иг­рыш­ной стра­те­гии Вани (в виде ри­сун­ка или таб­ли­цы). На рёбрах де­ре­ва ука­зы­вай­те, кто де­ла­ет ход; в узлах  — ко­ли­че­ство кам­ней в куче. Де­ре­во не долж­но со­дер­жать пар­тии, не­воз­мож­ные при ре­а­ли­за­ции вы­иг­ры­ва­ю­щим иг­ро­ком своей вы­иг­рыш­ной стра­те­гии. На­при­мер, пол­ное де­ре­во игры не яв­ля­ет­ся вер­ным от­ве­том на это за­да­ние.