Дана последовательность N целых положительных чисел. Рассматриваются все пары элементов последовательности, находящихся на расстоянии не меньше 6 (разница в индексах элементов должна быть 6 или более). Необходимо определить количество пар, разность чисел в которых кратна 3.
Описание входных и выходных данных.
В первой строке входных данных задаётся количество чисел N (6 ≤ N ≤ 1000). В каждой из последующих N строк записано одно натуральное число, не превышающее 10 000
Пример входных данных:
8
2
6
5
4
6
7
9
8
Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:
1
Пояснение. Из восьми чисел можно составить три пары, удовлетворяющие условию. Это будут элементы с индексами 1 и 7, 1 и 8, 2 и 8. Для заданного набора чисел получаем пары (2, 9), (2, 8), (6, 8). Разности чисел в этих парах равны 7, 6, 2. Одна из этих разностей кратна 3.
Напишите эффективную по времени и по памяти программу для решения этой задачи.
Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества исходных чисел N в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз.
Программа считается эффективной по памяти, если память, необходимая для хранения всех переменных программы, не превышает 1 килобайта и не увеличивается с ростом N.
Максимальная оценка за правильную (не содержащую синтаксических ошибок и дающую правильный ответ при любых допустимых входных данных) программу, эффективную по времени и по памяти, — 4 балла.
Максимальная оценка за правильную программу, эффективную только по времени или только по памяти, — 3 балла.
Максимальная оценка за правильную программу, не удовлетворяющую требованиям эффективности, — 2 балла.
Вы можете сдать одну или две программы решения задачи. Если Вы сдадите две программы, каждая из них будет оцениваться независимо от другой, итоговой станет бо́льшая из двух оценок.
Перед текстом программы кратко опишите алгоритм решения. Укажите использованный язык программирования и его версию.
Разность двух чисел кратна 3, если остатки от деления этих чисел на 3 равны.
Будем хранить количество чисел, дающих при делении на 3 остатки 0, 1 и 2 без учёта шести последних элементов последовательности. Для этого понадобится хранить последние шесть элементов. Остальные элементы последовательности можно не хранить, это обеспечивает эффективность по памяти. Для хранения шести элементов можно использовать циклический массив, как показано в решении 1.
Будем рассматривать каждое введённое число как правый элемент возможной пары (первые шесть чисел не могут быть таким элементом) и в зависимости от остатка при его делении на 3 определять количество подходящих пар и прибавлять его к общей сумме.
Решение 1. Правильная и эффективная программы на языке Паскаль (использован циклический массив):
const d=6; {требуемое расстояние между элементами}
var
N: integer; {количество чисел}
x: integer; {очередное число}
a: array[0..d-1] of integer;
k: array[0..2] of integer; {количество по остаткам}
s: integer; {количество подходящих пар}
i: integer; {счётчик для ввода}
ia: integer; {текущий индекс в массиве a}
begin
readln(N);
{ввод первых d чисел}
for i:=0 to d-1 do readln(a[i]);
{ввод и обработка остальных значений}
for i:=0 to 2 do k[i]:=0;
ia:=0; s:=0;
for i:=d to N-1 do begin
readln(x);
k[a[ia] mod 3] := k[a[ia] mod 3] + 1;
s := s + k[x mod 3];
a[ia] := x;
ia := (ia+1) mod d
end;
writeln(s)
end.
Возможно также «лобовое» решение: запишем все исходные числа в массив, переберём все возможные пары и подсчитаем количество подходящих. Такое решение не является эффективным ни по памяти (требуемая память зависит от размера исходных данных), ни по времени (количество возможных пар, а значит, количество действий и время счёта с ростом количества исходных элементов растёт квадратично). Такая программа оценивается не выше 2 баллов. Ниже приведена реализующая описанный выше алгоритм программа на языке Паскаль (использована версия PascalABC)
Решение 2. Правильная, но неэффективная программы на языке Паскаль:
const d=6; {требуемое расстояние между элементами}
var
N: integer; {количество чисел}
a: array [1..1000] of integer; {исходные данные}
s: integer; {количество подходящих пар}
i,j: integer;
begin
readln(N);
for i:=1 to N do readln(a[i]);
s :=0;
for i := 1 to N-d do begin
for j := i+d to N do begin
if a[i] mod 3 = a[j] mod 3
then s := s +1
end
end;
writeln(s)
end.
Приводим эффективное решение Николая Артюхина на C++.
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n, a[6], x, i, k=0, k0=0, k1=0, k2=0, s=6;
cin >> n;
for(i=0;i<s;i++){
cin >> a[i];
}
for(i=s;i<n;i++){
cin >> x;
if(a[i%s]%3==0) k0++;
else if(a[i%s]%3==1) k1++;
else k2++;
if(x%3==0) k=k+k0;
else if (x%3==1) k=k+k1;
else k=k+k2;
a[i%s] = x;
}
cout << k;
return 0;
}