Логическая функция F задаётся выражением ((y → w) ≡ (x → ¬z)) ∧ (x ∨ w).
Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.
Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
| Переменная 1 | Переменная 2 | Переменная 3 | Переменная 4 | Функция |
|---|---|---|---|---|
| ??? | ??? | ??? | ??? | F |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:
| Переменная 1 | Переменная 1 | Функция |
|---|---|---|
| ??? | ??? | F |
| 0 | 1 | 0 |
Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Подберём переменные так, чтобы, выражение было ложно и при этом все переменные кроме одной были равны 1. Такой набор переменных: x = 1, y = 0, z = 1, w = 1. Сопоставляя полученные значения с первой строкой таблицы, получаем, что первая переменная — это переменная y.
Рассмотрим вторую строку таблицы. Последовательно рассмотрим случаи, когда x = 1, z = 1, w = 1. В первых двух случаях выражение ложно, а в третьем — истинно. Следовательно, третья переменная — переменная w.
Рассмотрим третью строку таблицы. Заметим, что w = 0, значит, для того, чтобы выражение было истинно, x должно быть равно 1. Первая и третья переменные — y и w, вторая переменная равна 0. Следовательно, x — четвёртая переменная.
Таким образом, оставшаяся переменная, переменная 2, — это переменная z.
Ответ: yzwx.
Приведем другое решение.
Составим таблицу истинности для выражения ((y → w) ≡ (x → ¬z)) ∧ (x ∨ w) вручную или при помощи языка Python:
Наборы переменных, при которых данное выражение равно 0.
print("x y z w")
for x in range(0, 2):
for y in range(0, 2):
for z in range(0, 2):
for w in range(0, 2):
if not(((y <= w) == (x <= (not z))) and (x or w)):
print(x, y, z, w)
В наборах переменные запишем в порядке х, y, z, w.
Получим следующие наборы:
(0, 0, 0, 0),
(0, 0, 1, 0),
(0, 1, 0, 0),
(0, 1, 1, 0),
(1, 0, 1, 0),
(1, 0, 1, 1),
(1, 1, 0, 0),
(1, 1, 1, 1).
Наборы переменных, при которых данное выражение равно 1.
print("x y z w")
for x in range(0, 2):
for y in range(0, 2):
for z in range(0, 2):
for w in range(0, 2):
if ((y <= w) == (x <= (not z))) and (x or w):
print(x, y, z, w)
В наборах переменные запишем в порядке х, y, z, w.
Получим следующие наборы:
(0, 0, 0, 1),
(0, 0, 1, 1),
(0, 1, 0, 1),
(0, 1, 1, 1),
(1, 0, 0, 0),
(1, 0, 0, 1),
(1, 1, 0, 1),
(1, 1, 1, 0).
Заметим из наборов переменных, при которых данное выражение равно 0, что единственный набор, содержащий ровно три единицы (1, 0, 1, 1). Следовательно, переменной y соответствует первый столбец.
Рассмотрим наборы переменных, при которых данное выражение равно 1. Ко второй строчке таблицы истинности могут подойти наборы:
(0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1) или (1, 0, 0, 1). В первом столбце таблицы истинности стоит y, которое во второй строке принимает значение 1, поэтому подойдет только набор (0, 1, 0, 1). Следовательно, переменной w соответствует третий столбец. Поскольку в третьей строке таблицы переменная w принимает значение 0, то могут подойти наборы (1, 1, 1, 0) или (1, 0, 0, 0). Набор (1, 1, 1, 0) не подойдет, так как хотя бы одна из переменных x или z должна принимать значение 0, поэтому переменной z соответствует второй столбец, а переменной x соответствует четвертый столбец, что следует из набора (1, 0, 0, 0).