PDF-версии: 
На рисунке — схема дорог, связывающих пункты А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К, Л, М.
Сколько существует различных путей, ведущих из города А в город М, проходящих через город В?
Решение. Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1.
Б = А = 1.
Д = А = 1.
Г = А + Д = 2.
В = А + Б + Г = 4.
Е = В = 4 (Б не учитываем, поскольку путь должен проходить через город В).
З = В = 4. (Г и Д не учитываем, поскольку путь должен проходить через город В)
Ж = В + Е + З = 12.
И = Е + Ж + З = 20.
К = И = 20.
Л = И = 20.
М = К + И + Л = 60.
Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город М, проходящих через город В.
Ответ: 60.
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город М, проходящих через город В, равно произведению количества путей из города А в город В и количества путей из города В в город М.
Найдем количество путей из города А в город В:
А = 1.
Б = А = 1.
Д = А = 1.
Г = А + Д = 2.
В = А + Б + Г = 4.
Найдем количество путей из города В в город М. Заметим, что все эти пути должны пройти через город И, следовательно, количество путей из города В в город М равно произведению количества путей из города В в город И и количества путей из города И в город М.
Найдем количество путей из города В в город И, при этом В — исходный пункт:
В = 1.
Е = В =1.
З = В = 1.
Ж = В + Е + З = 3.
И = Е + Ж + З = 5.
Из города И в город М есть три пути: И—К—М, И—Л—М и И—М.
Таким образом, количество путей из города А в город М, проходящих через город В, равно 4 · 5 · 3 = 60.