Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5).
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней.
В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — S камней, S > 10.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, т.е не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника.
Выполните следующие задания.
Задание 1.
Назовите все значения S, при которых Петя может выиграть первым ходом.
Задание 2.
Укажите такое значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3.
Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). В узлах дерева указывайте игровые позиции. Дерево не должно содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не будет верным ответом на это задание.
Задание 1.
Петя может выиграть первым ходом, если S = 11, …, 20. Для выигрыша достаточно вдвое уменьшить количество камней во второй куче. При больших значениях S за один ход нельзя получить 20 или менее камней в двух кучах.
Задание 2.
Возможные значения S: 41, 31, 23, 22. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако при S = 31 Петя может получить позицию (5, 31), при S = 23 — позицию (9, 23), при S = 22 — позицию (10, 21), а при S = 41 — позицию (10, 21). В первом случае после хода Вани возникнет одна из позиций (4, 31), (3, 31), (5, 30), (5, 16), во втором случае — одна из позиций (8, 23), (5, 23), (9, 22), (9, 12), в третьем случае — одна из позиций (9, 21), (10, 20), (5, 21), (10, 11), в четвёртом случае — одна из позиций (9, 21), (10, 20), (5, 21), (10, 11). В любой из перечисленных позиций Петя может выиграть, уменьшив вдвое количество камней в большей куче.
Задание 3.
Возможное значение S: 24. После первого хода Пети возможны позиции (9, 24), (5, 24), (10, 23), (10, 12). В позициях (5, 24) и (10, 12) Ваня может выиграть первым ходом, уменьшив вдвое количество камней во второй куче. Из позиций (9, 24) и (10, 23) Ваня может получить позицию (9, 23), разобранную в задании 2. Игрок, после хода которого возникла эта позиция (в данном случае — Ваня), выигрывает следующим ходом.
В таблице изображены возможные партии при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) выделены жирным шрифтом. На рисунке эти же партии показаны в виде графа (оба способа изображения допустимы)
| Исходное положение | 1-й ход Пети (разобраны все ходы, указана полученная позиция) | 1-й ход Вани (только ход по стратегии, указана полученная позиция) | 2-й ход Пети (разобраны все ходы, указана полученная позиция) | 2-й ход Вани (только ход по стратегии, указана полученная позиция) |
|---|---|---|---|---|
| (10, 24) Всего 34 | (5, 24) Всего 29 | (5, 12) Всего 17 | ||
| (10, 12) Всего 22 | (10, 6) Всего 16 | |||
| (9, 24) Всего 33 | (9, 23) Всего 32 | (8, 23) Всего 31 | (8, 12) Всего 20 | |
| (5, 23) Всего 28 | (5, 12) Всего 17 | |||
| (10, 23) Всего 33 | (9, 22) Всего 31 | (19, 11) Всего 20 | ||
| (9, 12) Всего 21 | (9, 6) Всего 15 |
Рис. 1. Граф всех партий, возможных при описанной стратегии Вани. Ходы Пети показаны сплошными стрелками, ходы Вани показаны пунктирными стрелками. Заключительные позиции обозначены прямоугольниками.