На рисунке изображена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л, М, Н. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город Н, проходящих через город Д?
Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1.
Б = А = 1.
В = А + Б = 2.
Г = А + В = 3.
Д = В + Б = 3.
Е = Д = 3 (В и Г не учитываем, поскольку путь должен проходить через город Д).
Ж = Д + Е = 6.
И = Е = 3.
К = Ж + И = 9.
Л = К = М = 9.
Н = Л + М = 18.
Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город Н, проходящих через город Д.
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город Н, проходящих через город Д, равно произведению количества путей из города А в город Д и количества путей из города Д в город Н.
Найдем количество путей из города А в город Д:
А = 1.
Б = А = 1.
В = А + Б = 2.
Г = А + В = 3.
Д = В + Б = 3.
Найдем количество путей из города Д в город Н (при этом Д — исходный пункт):
Д = 1.
Е = Д = 1.
Ж = Д + Е = 2.
И = Е = 1.
К = Ж + И = 3.
Л = К = М = 3.
Н = Л + М = 6.
Тогда количество путей из города А в город Н, проходящих через город Д, равно 3 · 6 = 18.
Ответ: 18.