На вход программы поступает последовательность из N целых положительных чисел, все числа в последовательности различны. Рассматриваются все пары различных элементов последовательности, находящихся на расстоянии не меньше чем 4 (разница в индексах элементов пары должна быть 4 или более, порядок элементов в паре неважен). Необходимо определить количество таких пар, для которых произведение элементов делится на 29.
Описание входных и выходных данных
В первой строке входных данных задаётся количество чисел N (4 ≤ N ≤ 1000). В каждой из последующих N строк записано одно целое положительное число, не превышающее 10 000.
В качестве результата программа должна вывести одно число: количество пар элементов, находящихся в последовательности на расстоянии не меньше чем 4, в которых произведение элементов кратно 29.
Пример входных данных:
7
58
2
3
5
4
1
29
Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:
5
Пояснение. Из 7 заданных элементов с учётом допустимых расстояний между ними можно составить 6 произведений: 58 · 4, 58 · 1, 58 · 29, 2 · 1, 2 · 29, 3 · 29. Из них на 29 делятся 5 произведений.
Требуется написать эффективную по времени и по памяти программу для решения описанной задачи.
Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества исходных чисел N в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз.
Программа считается эффективной по памяти, если память, необходимая для хранения всех переменных программы, не превышает 1 Кбайт и не увеличивается с ростом N.
Максимальная оценка за правильную (не содержащую синтаксических ошибок и дающую правильный ответ при любых допустимых входных данных) программу, эффективную по времени и по памяти, – 4 балла.
Максимальная оценка за правильную программу, эффективную только по времени – 3 балла.
Максимальная оценка за правильную программу, не удовлетворяющую требованиям эффективности, – 2 балла.
Вы можете сдать одну программу или две программы решения задачи (например, одна из программ может быть менее эффективна). Если Вы сдадите две программы, то каждая из них будет оцениваться независимо от другой, итоговой станет бо́льшая из двух оценок.
Перед текстом программы обязательно кратко опишите алгоритм решения. Укажите использованный язык программирования и его версию.
Произведение двух чисел делится на 29, если хотя бы один из сомножителей делится на 29.
При вводе чисел можно подсчитывать количество чисел, кратных 29, не считая четырёх последних. Обозначим их n29.
Примечание для проверяющего. Сами числа, кроме четырёх последних, при этом можно не хранить.
Очередное считанное число будем рассматривать как возможный правый элемент искомой пары. Если очередное считанное число делится на 29, то к ответу следует прибавить количество чисел до него, не считая четырёх последних (включая считанное). Если очередное считанное число на 29 не делится, то к ответу следует прибавить n29.
Чтобы построить программу, эффективную по памяти, заметим, что, поскольку при обработке очередного элемента входных данных используются значения, находящиеся на четыре элемента ранее, достаточно хранить только четыре последних элемента или информацию о них. Ниже приведена реализующая описанный алгоритм программа на языке Паскаль (использована версия PascalABC).
Пример 1. Программа на языке Паскаль. Программа эффективна по времени и памяти.
const s = 4; {требуемое расстояние между элементами}var
n: longint;
a: array[1..s] of longint; {хранение последних s значений}
a_: longint; {очередное значение}
n29: longint; {количество делящихся на 29 элементов, не считая s последних}
cnt: longint; {количество искомых пар}
i, j: longint;
begin
readln(n); {Ввод первых s чисел}
for i:=1 to s do
readln(a[i]);
cnt := 0;
n29 := 0;
for i := s + 1 to n do {Ввод остальных значений, подсчет искомых пар}
begin
if a[1] mod 29 = 0 then
n29 := n29 + 1;
readln(a_);
if a_ mod 29 = 0 then
cnt := cnt + i - s
else
cnt := cnt + n29;
{сдвигаем элементы вспомогательного массива влево}
for j := 1 to s - 1 do
a[j] := a[j + 1];
a[s] := a_ {записываем текущий элемент в конец массива}
end;
writeln(cnt)
end.
Пример 2. Программа на языке Python. Программа эффективна по времени и памяти.
s = 4
a = [0]*s
n = int(input())
for i in range(s):
a[i] = int(input())
cnt = 0
n29 = 0
for i in range(s, n):
k = i % s
if a[k] % 29 == 0:
n29 = n29 + 1
a_ = int(input())
if a_ % 29 == 0:
cnt = cnt + i - s + 1
else:
cnt = cnt + n29
a[i % s] = a_
print(cnt)
Пример 3. Программа на языке С++. Программа эффективна по времени и памяти.
#include
using namespace std;
int main()
{
int s = 4; //требуемое расстояние между элементами
int n;
int n1 = 0, n2 = 0, n3 = 0, n4 = 0;
//хранение последних s счетчиков
int a_; // очередное значение
int cnt; // количество искомых пар
cin >> n;
cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
cin >> a_; // считано очередное значение
if (i >= s)
{
if (a_ % 29 == 0)
cnt += i - s + 1;
else
cnt += n4;
}
//сдвигаем элементы счетчиков
n4 = n3;
n3 = n2;
n2 = n1;
//обновляем счетчик кратных 29
if (a_ % 29 == 0)
n1 += 1;
}
cout << cnt;
return 0;
}
Пример 4. Программа на языке Паскаль. Программа эффективна по времени и неэффективна по памяти.
const s = 4; {требуемое расстояние между элементами}var
n: longint;
a: array[1..1000] of longint;
n29: longint;
{количество делящихся на 29 элементов, не считая s последних}
cnt: longint; {количество искомых пар}
i, j: longint;
begin
readln(n);
{Ввод первых s чисел}
for i:=1 to s do
readln(a[i]);
{Ввод остальных значений, подсчет искомых пар}
cnt := 0;
n29 := 0;
for i := s + 1 to n do
begin
readln(a[i]);
if a[i - s] mod 29 = 0 then
n29 := n29 + 1;
if a[i] mod 29 = 0 then
cnt := cnt + i - s
else
cnt := cnt + n29;
end;
writeln(cnt)
end.
Приводим эффективное решение Николая Артюхина на C++.
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n, a[4], x, i, k=0, k29=0, nk29=0, s=4;
cin >> n;
for(i=0;i<s;i++){
cin >> a[i];
}
for(i=s;i<n;i++){
cin >> x;
if(a[i%s]%29==0) k29++; // ia =0 a[ia]
else nk29++;
if(x%29==0) k=k+nk29+k29;
else k=k+k29;
a[i%s] = x; // a[ia] ia=(ia+1)%s
}
cout << k;
return 0;
}
Приводим эффективное решение Игоря Кудашева на Python 3.
n = int(input())
a = []
k29 = 0
nk29 = 0
count = 0
for i in range(4):
a.append(int(input()))
for i in range(4, n):
x = int(input())
if a[i % 4] % 29 == 0: k29 += 1
else: nk29 += 1
if x % 29 == 0: count += k29 + nk29
else: count += k29
a[i % 4] = x
print(count)