РЕШУ ЕГЭ — информатика

Задания

Дан набор из N ≤ 1000 натуральных чисел, каждое из которых не превышает 10000. Из них необходимо определить, сколько имеется пар чисел, разница между индексами которых не меньше 5, а произведение элементов в которых кратно 13. Напишите эффективную по времени и по памяти программу для решения этой задачи.

Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества исходных чисел N в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз.

Программа считается эффективной по памяти, если память, необходимая для хранения всех переменных программы, не превышает 1 килобайта и не увеличивается с ростом N.

Максимальная оценка за правильную (не содержащую синтаксических ошибок и дающую правильный ответ при любых допустимых входных данных) программу, эффективную по времени и по памяти,  — 4 балла.

Максимальная оценка за правильную программу, эффективную только по времени или только по памяти,  — 3 балла.

Максимальная оценка за правильную программу, не удовлетворяющую требованиям эффективности,  — 2 балла.

Вы можете сдать одну или две программы решения задачи. Если Вы сдадите две программы, каждая из них будет оцениваться независимо от другой, итоговой станет бо́льшая из двух оценок.

Перед текстом программы кратко опишите алгоритм решения. Укажите использованный язык программирования и его версию.

Описание входных и выходных данных.

В первой строке входных данных задаётся количество чисел N (5 ≤ N ≤ 1000). В каждой из последующих N строк записано одно натуральное число, не превышающее 10000.

Пример входных данных:

Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:

Из 7 чисел можно составить 14 пар. В данном случае условиям удовлетворяют две пары: (4, 13) и (14, 13). Произведения (52 и 182) делятся на 13, а номера элементов в паре отличаются не менее, чем на 5. У всех остальных пар как минимум одно из этих условий не выполняется. На экран выводится количество пар  — 2.

Решение. На каждом шаге достаём из массива один элемент, если он кратен 13, то прибавляем единицу к количеству кратных 13. Если элемент не кратен 13, то прибавляем единицу к количеству не кратных 13.

Далее считываем следующий элемент. Если он кратен 13, то к количеству пар прибавляем количество элементов, кратных 13.

Пример правильной и эффективной программы на языке Паскаль:

const p = 5; {требуемое расстояние между числами}var
    a: array[0..p] of integer; {исходные данные}
    N: integer; {количество чисел}
    r: integer; {очередное число}
    k13: integer; {кратные 13}
    nk13: integer; {не кратные 13}
    count: integer; {количество пар}
    i, j: integer;
begin
    readln(N);
    count := 0; k13 := 0; nk13 := 0;
    for i := 1 to p do begin
      readln(r);
      a[i mod p] := r;
    end;
    for i := p + 1 to N do begin
      readln(r);
      if a[i mod p] mod 13 = 0 then Inc(k13)
      else Inc(nk13);
      if r mod 13 = 0 then count := count + k13 + nk13
      else count := count + k13;
      a[i mod p] := r;
    end;
    writeln(count);
end.

Возможно также «лобовое» решение: запишем все исходные числа в массив, переберём все возможные пары и подсчитаем количество подходящих. Такое решение не является эффективным ни по памяти (требуемая память зависит от размера исходных данных), ни по времени (количество возможных пар, а значит, количество действий и время счёта с ростом количества исходных элементов растёт квадратично). Такая программа оценивается не выше двух баллов.

Ниже приведена реализующая описанный выше алгоритм программа на языке Паскаль (использована версия PascalABC)

Пример правильной, но неэффективной программы на языке Паскаль

var

    a: array [1..1000] of integer; {исходные данные}

    N: integer; {количество чисел}

    count: integer; {количество пар}

    i, j: integer;

begin

    readln(N);

    count := 0;

    for i := 1 to N do readln(a[i]);

    for i := 1 to N−5 do

        for j := i + 5 to N do

            if (a[i] * a[j] mod 13 = 0) then

                count := count + 1;

        writeln(count)

end.

Приводим эффективное решение Игоря Кудашева на Python 3.

n = int(input())

a = []

k13 = 0

nk13 = 0

count = 0

for i in range(5):

    a.append(int(input()))

for i in range(5, n):

    x = int(input())

    if a[i % 5] % 13 == 0: k13 += 1

    else: nk13 += 1

    if x % 13 == 0: count += k13 + nk13

    else: count += k13

    a[i % 5] = x

print(count)

Приводим эффективное решение Николая Артюхина на C++.

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

    int a[5],n, i, k13=0, x, k=0;

    cin >> n;

    for(i=0;i<5;i++){

         cin >> a[i];

    }

    for(i=5;i<n;i++){

         cin >> x;

        if(a[i%5]%13==0) k13++;

        if(x%13==0) k=k+i-4;

        else k=k+k13;

        a[i%5]=x;

    }

    cout << k;

     return 0;

}

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Программа правильно работает для любых входных данных произвольного размера. Используемая память не зависит от количества прочитанных чисел, а время работы пропорционально этому количеству. Допускается наличие в тексте программы до трёх синтаксических ошибок одного из следующих видов: 1) пропущен или неверно указан знак пунктуации, 2) неверно написано или пропущено зарезервированное слово языка программирования, 3) не описана или неверно описана переменная, 4) применяется операция, недопустимая для соответствующего типа данных. Если одна и та же ошибка встречается несколько раз, это считается за одну ошибку	4
Не выполнены условия, позволяющие поставить 4 балла. Программа в целом работает правильно для любых входных данных произвольного размера. Время работы пропорционально количеству введённых чисел, правильно указано, какие величины должны вычисляться по ходу чтения элементов последовательности чисел. Используемая память, возможно, зависит от количества прочитанных чисел (например, входные данные запоминаются в массиве, контейнере STL в C++ или другой аналогичной структуре данных). Количество синтаксических ошибок («описок»), указанных в критериях на 4 балла, — не более пяти. Допускается наличие не более одной ошибки следующих видов: 1) ошибка при инициализации суммы и/или минимума; 2) неверно определяется результат в ситуации, когда все числа кратны 8; 3) допущен выход за границу массива; 4) используется знак < вместо <=, or вместо and и т. п.; 5) неверный формат вывода (выведено одно число вместо двух или числа при выводе поменялись местами)	3
Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 или 4 балла. Программа работает в целом верно, эффективно или нет, но в реализации алгоритма есть до трёх содержательных ошибок из следующего списка: 1)–5) см. список в критериях на 3 балла; 6) вместо минимального значения, не кратного 8, ищется абсолютное минимальное значение. Количество синтаксических ошибок, указанных в критериях на 4 балла, не должно быть более девяти	2
Не выполнены условия, позволяющие поставить 2, 3 или 4 балла. Программа работает правильно в отдельных частных случаях. Например, все входные данные сохраняются в массиве, и делается попытка перебором найти наилучшую комбинацию. Допускается любое количество синтаксических ошибок	1
Не выполнены критерии, позволяющие поставить 1, 2, 3 или 4 балла	0
Максимальный балл	4

Ключ