На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П, Р, С, Т. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город Т, проходящих через город К?
Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В + Г + Е = 8.
К = Ж = 8.
Л = К = 8 (Ж не учитываем, поскольку путь должен проходить через К).
Н = Е + Ж = 11.
М = Л = 8 (Ж и Н не учитываем, поскольку путь должен проходить через К).
П = Л + М + К = 24.
Р = П + К = 32.
С = П = 24.
Т = Р + С + П = 80.
Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город Т, проходящих через город К.
Ответ: 80.
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город Т, проходящих через город К, равно произведению количества путей из города А в город К и количества путей из города К в город Т.
Найдем количество путей из города А в город К:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В + Г + Е = 8.
К = Ж = 8.
Найдем количество путей из города К в город Т (при этом К — исходный пункт):
К = 1.
Л = К = 1.
М = Л = 1.
П = Л + М + К = 3.
Р = П + К = 4.
С = П = 3.
Т = П + Р + С = 10.
Тогда количество путей из города А в город Т, проходящих через город К, равно 8 · 10 = 80.