СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Информатика
≡ информатика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 26 № 15838

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

 

добавить в кучу один камень или

увеличить количество камней в куче в четыре раза.

 

Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или из 40 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 64. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 65 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 64.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы следующего стратегии игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными.

Выполните следующие задания.

Задание 1.

а) Назовите все значения S, при которых Петя может выиграть первым ходом.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2.

Укажите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3.

Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.

Дерево не должно содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не будет верным ответом на это задание.

Решение.

Задание 1.

а) Петя может выиграть за один ход (увеличив количество камней в 4 раза), если S = 17, …, 64. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой будет более 64 камней.

б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 16 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 17 или 64 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в 4 раза и выигрывает в один ход.

Задание 2.

Возможные значения S: 4, 15. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 16 камней (при S = 4 он увеличивает количество камней в 4 раза, при S = 15 добавляет 1 камень). Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (в данном случае это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.

Задание 3.

Возможное значение S: 14. После первого хода Пети в куче будет 15 камней или 56 камней. Если в куче станет 56 камней, то Ваня увеличит количество камней в 4 раза и выиграет своим первым ходом. Ситуация, когда в куче 15 камней, разобрана в п. 2. В этом случае игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.

В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) выделены. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).

 

Исходное положение1-й ход Пети (разобраны все ходы, указана полученная позиция)1-й ход Вани (только ход по стратегии, указана полученная позиция)2-й ход Пети (разобраны все ходы, указана полученная позиция)2-й ход Вани (только ход по стратегии, указана полученная позиция)
1414 + 1 = 1515 + 1 = 1616 + 1 = 1717 * 4 = 68
16 * 4 = 6464 * 4 = 256
14 * 4 = 5656 * 4 = 224

Рис. 1. Дерево всех партий, возможных при описанной стратегии Пети. Ходы Пети показаны сплошными стрелками, ходы Вани показаны пунктирными стрелками. Заключительные позиции обозначены знаком >>.