Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2,…, x5, y1, y2, ..., y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 ∨ ¬x2) ∧ (x2 ∨ ¬x3) ∧ (x3 ∨ ¬x4) ∧ (x4 ∨ ¬x5) = 1
(¬y1 ∨ y2) ∧ (¬y2 ∨ y3) ∧ (¬y3 ∨ y4) ∧ (¬y4 ∨ y5) = 1
x1 ∨ y1 = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, ..., x5, y1, y2, ..., y5 при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Преобразуем первое и второе уравнения:
(x2→x1) ∧ (x3→x2) ∧ (x4→x3) ∧ (x5→x4) = 1
(y1→y2) ∧ (y2→y3) ∧ (y3→y4) ∧ (y4→y5) = 1
Заметим, что первое и второе уравнения не связаны между собой ни через какие переменные.
Рассмотрим первое уравнение. Для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы каждая скобка была истинной. Импликация ложна только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Представим решение этого уравнения в виде дерева.
Рассмотрим второе уравнение. Для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы каждая скобка была истинной. Дерево для решения этого уравнения будет выглядеть так:
Представим решения последнего уравнения в виде таблицы:
| x1 | y1 | |
|---|---|---|
| А | 1 | 1 |
| Б | 1 | 0 |
| В | 0 | 1 |
Случай А. Согласно деревьям решений получим 6 наборов решений для переменных x и 6 наборов переменных y, но x1 = 1 и y1 = 1, следовательно, из набора решений для x подойдёт пять, а из набора решений для y — 1. Суммарное число наборов: 1 · 5 = 5.
Случай Б. Аналогично случаю А получим 5 наборов переменных x и 5 наборов переменных y, суммарное число наборов 5 · 5 = 25.
Случай В. Аналогично случаю А получим 1 набор переменных x и 1 набор переменных y, суммарное число наборов 1 · 1 = 1.
Таким образом, получаем 25 + 5 + 1 = 31 набор переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств.
Ответ: 31.