На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П, Р, С, Т. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город Т, проходящих через город М?
Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В + Г + Е = 8.
К = Ж + В = 11.
Н = Д + Ж = 9.
М = Ж + Н = 17.
Л = М = 17. (Ж и К не учитываем, поскольку путь должен проходить через М)
П = Л + М = 34 (К не учитываем, поскольку путь должен проходить через М).
Р = П = 34.
С = П = 34.
Т = Р + С = 68.
Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город Т, проходящих через город М.
Ответ: 68.
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город Т, проходящих через город М, равно произведению количества путей из города А в город М и количества путей из города М в город Т.
Найдем количество путей из города А в город М:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В + Г + Е = 8.
К = Ж + В = 11.
Н = Д + Ж = 9.
М = Ж + Н = 17.
Найдем количество путей из города М в город Т (при этом М — исходный пункт):
М = 1.
Л = М = 1.
П = М + Л = 2.
Р = П = 2.
С = П = 2.
Т = С + Т = 4.
Тогда количество путей из города А в город Т, проходящих через город М, равно 17 · 4 = 68.