На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, К, Л, М, Н, П, Р, С, Т. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город Т, проходящих через город Л?
Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом, если путь не должен проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город, наоборот, обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В + Г + Е = 8.
К = Ж + В = 11.
Л = Ж + К= 19.
Н = Д + Ж = 9.
М = Л = 19 (Ж и Н не учитываем, поскольку путь должен проходить через Л).
П = Л + М = 38 (К не учитываем, поскольку путь должен проходить через Л).
Р = П = 38.
С = П = 38.
Т = Р + С = 76.
Примечание. Необходимо найти количество различных путей из города А в город Т, проходящих через город Л.
Ответ: 76.
Приведем другое решение.
Количество путей из города А в город Т, проходящих через город Л, равно произведению количества путей из города А в город Л и количества путей из города Л в город Т.
Найдем количество путей из города А в город Л:
А = 1.
Б = А = 1.
Г = А + Б = 2.
Д = А = 1.
В = Б + Г = 3.
Е = Г + Д = 3.
Ж = В + Г + Е = 8.
К = Ж + В = 11.
Л = Ж + К= 19.
Найдем количество путей из города Л в город Т (при этом Л - исходный пункт).
Л = 1.
М = Л = 1.
П = Л + М = 2.
Р = П = 2.
С = П = 2.
Т = Р + С = 4.
Следовательно, количество путей из города А в город Т, проходящих через город Л, равно 19 · 4 = 76.