≡ информатика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 22 № 14783

Исполнитель Тренер преобразует число на экране.

У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:

 

1. Прибавить 1

2. Умножить на 2

 

Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2. Программа для исполнителя Тренер —  это последовательность команд.

Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 1 в число 40 и при этом траектория вычислений содержит числа 12 и 25?

Траектория должна содержать оба указанных числа. Траектория вычислений – это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 212 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 14, 15, 30.

Пояснение.

Нужно найти количество программ, которые из 1 получают 12, количество программ, которые из 12 получают 25, количество программ, которые из 25 получают 40 и перемножить найденные значения. Сначала найдём количество программ, получающих 12 из 1.

 

Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 2 в число n.

 

Верны следующие соотношения:

1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n - 1), так как существует единственный способ получения n из n − 1 — прибавление единицы.

2. Пусть n делится на 2.

Если n > 1, то R(n) = R(n / 2) + R(n - 1).

Если n = 1, то R(n) = 1 (два способа: прибавление единицы и удвоение).

 

Теперь можно постепенно вычислить все значения:

R(2) = R(1) + R(1) = 1 + 1 = 2 = R(3)

R(4) = R(2) + R(3) = 2 + 2 = 4 = R(5),

R(6) = R(3) + R(5) = 2 + 4 = 6 = R(7),

R(8) = R(4) + R(7) = 4 + 6 = 10 = R(9),

R(10) = R(5) + R(9) = 4 + 10 = 14 = R(11)

R(12) = R(6) + R(11) = 6 + 14 = 20

 

Программ, получающих из числа 12 число 25 достаточно мало, можно их просто перечислить: 21, 1111111111111.

А программ, получающих из числа 25 число 40, всего один способ: добавление единиц.

 

Тем самым, находим ответ:

Ответ: 40.