Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ... x8, y1, y2, ... y8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1→x2) ∧ (x1→y1) = 1
(x2→x3) ∧ (x2→y2) = 1
…
(x7→x8) ∧ (x7→y7) = 1
(x8→y8) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, ... x8, y1, y2, ... y8 при которых выполнена данная система равенств.
В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Возьмем первое условие (x1→x2) ∧ (x1→y2) = 1. Преобразовав импликации, получим: (¬x1 ∨ x2) ∧ (¬x1 ∨ y1) = 1. Уравнение выполняется тогда и только тогда, когда (¬x1 ∨ x2) = 1 и (¬x1 ∨ y1) = 1.
Таким образом, в двух наборах из 8 цифр x1, x2, ... x8, y1, y2, ... y8, действуют правила:
1. После единицы идут только единицы.
2. После нуля идут нули или единицы.
Тогда получаем такой набор для x1, x2, ... x8 для таких условий условий (x1→x2)=1; (x2→x3)=1 ... (x7→x8)=1:
Остается найти возможные значения y после соответствующих значений x для таких условий (x1→y1)=1; (x2→y2)=1 ... (x8→y8)=1:
Тут действуют те же два правила, а это значит, что в каждом наборе, где значение x = 0, соответствующий y может быть, либо 1, либо 0.
Поэтому, первому набору x: 0 0 0 0 0 0 0 0 соответствующий y может быть равен 1 или 0. Имеем 28 = 256 наборов y.
Набору 0 0 0 0 0 0 0 1 приходится 27 = 128 наборов y. Чтобы получить ответ, суммируем значения степеней двойки с восьми до нуля:
28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1 = 511.
Ответ: 511.