Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д26 C3 № 13502
i

Два иг­ро­ка, Паша и Валя, иг­ра­ют в сле­ду­ю­щую игру. Перед иг­ро­ка­ми лежит куча кам­ней. Иг­ро­ки ходят по оче­ре­ди, пер­вый ход де­ла­ет Паша. За один ход игрок может до­ба­вить в кучу два камня или уве­ли­чить ко­ли­че­ство кам­ней в куче в три раза. На­при­мер, имея кучу из 15 кам­ней, за один ход можно по­лу­чить кучу из 17 или 45 кам­ней. У каж­до­го иг­ро­ка, чтобы де­лать ходы, есть не­огра­ни­чен­ное ко­ли­че­ство кам­ней.

Игра за­вер­ша­ет­ся в тот мо­мент, когда ко­ли­че­ство кам­ней в куче ста­но­вит­ся не менее 45. Если при этом в куче ока­за­лось не более 112 кам­ней, то по­бе­ди­те­лем счи­та­ет­ся игрок, сде­лав­ший по­след­ний ход. В про­тив­ном слу­чае по­бе­ди­те­лем ста­но­вит­ся его про­тив­ник. На­при­мер, если в куче было 40 кам­ней и Паша утро­ит ко­ли­че­ство кам­ней в куче, то игра за­кон­чит­ся и по­бе­ди­те­лем будет Валя. В на­чаль­ный мо­мент в куче было S кам­ней, 1 ≤ S ≤ 44. Будем го­во­рить, что игрок имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию, если он может вы­иг­рать при любых ходах про­тив­ни­ка. Опи­сать стра­те­гию иг­ро­ка  — зна­чит, опи­сать, какой ход он дол­жен сде­лать в любой си­ту­а­ции, ко­то­рая ему может встре­тить­ся при раз­лич­ной игре про­тив­ни­ка.

Вы­пол­ни­те сле­ду­ю­щие за­да­ния.

1.  а) При каких зна­че­ни­ях числа S Паша может вы­иг­рать в один ход?

Ука­жи­те все такие зна­че­ния и со­от­вет­ству­ю­щие ходы Паши.

б)  У кого из иг­ро­ков есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия при S = 37, 39, 41?

Опи­ши­те вы­иг­рыш­ные стра­те­гии для этих слу­ча­ев.

2.  У кого из иг­ро­ков есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия при S = 13, 11? Опи­ши­те

со­от­вет­ству­ю­щие вы­иг­рыш­ные стра­те­гии.

3.  У кого из иг­ро­ков есть вы­иг­рыш­ная стра­те­гия при S = 9? По­строй­те де­ре­во всех пар­тий, воз­мож­ных при этой вы­иг­рыш­ной стра­те­гии (в виде ри­сун­ка или таб­ли­цы). На рёбрах де­ре­ва ука­зы­вай­те, кто де­ла­ет ход, в узлах  — ко­ли­че­ство кам­ней в по­зи­ции.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1.  а) Петя может вы­иг­рать, если S = 15, 16, …, 37, 43, 44. При S = 43 и S = 44 пер­вым ходом нужно до­ба­вить в кучу 2 камня, при осталь­ных ука­зан­ных зна­че­ни­ях S нужно утро­ить ко­ли­че­ство кам­ней.

б)  При S = 37 Паша вы­иг­ры­ва­ет в один ход, утра­и­вая ко­ли­че­ство кам­ней (см. п. а).

При S = 39 или 41 утра­и­вать ко­ли­че­ство кам­ней не имеет смыс­ла, т. к. после та­ко­го хода вы­иг­ры­ва­ет про­тив­ник. По­это­му можно счи­тать, что един­ствен­ный воз­мож­ный ход – это до­бав­ле­ние в кучу двух кам­ней.

При S = 41 после та­ко­го хода Паши в куче ста­нет 43 камня. В этой по­зи­ции хо­дя­щий (то есть Валя) вы­иг­ры­ва­ет (см. п. а). То есть при S = 41 Паша (игрок, ко­то­рый дол­жен хо­дить пер­вым) про­иг­ры­ва­ет.

Вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Вали.

При S = 39, после того как Паша своим пер­вым ходом до­ба­вит два камня, в куче будет 41 ка­мень. В этой по­зи­ции хо­дя­щий (то есть Валя) про­иг­ры­ва­ет (см. выше). То есть при S = 39 Паша (игрок, ко­то­рый дол­жен хо­дить пер­вым) вы­иг­ры­ва­ет. Вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Паши.

За­ме­ча­ние для про­ве­ря­ю­ще­го. Ско­рее всего, ре­ше­ние эк­за­ме­ну­е­мо­го будет не столь по­дроб­ным. Это не яв­ля­ет­ся ошиб­кой. Уче­ник может, на­при­мер, на­ри­со­вать де­ре­вья всех воз­мож­ных пар­тий для ука­зан­ных зна­че­ний S. Дру­гая воз­мож­ность – (1) ука­зать на то, что при S = 39 и 41 утра­и­вать кучу смыс­ла не имеет, и (2) по­сле­до­ва­тель­но сво­дить слу­чай S = 41 к слу­чаю S = 43, а слу­чай S = 39 – к слу­чаю S = 41.

2.  При S = 13 после пер­во­го хода Паши в куче будет либо 15, либо 39 кам­ней. В обоих слу­ча­ях вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у иг­ро­ка, ко­то­рый дол­жен хо­дить, те­перь это Валя. Слу­чай S = 15 рас­смот­рен в за­да­нии 1а, а слу­чай S = 39 – в за­да­нии 1б. По­это­му вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Вали.

При S = 11 вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Паши. Ему нужно пер­вым ходом до­ба­вить 2 камня и по­лу­чить кучу из 13 кам­ней. Как по­ка­за­но выше, в этой си­ту­а­ции вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у иг­ро­ка, ко­то­рый НЕ дол­жен хо­дить, то есть у Паши.

3.  При S = 9 вы­иг­рыш­ная стра­те­гия есть у Вали. После пер­во­го хода Паши в куче может стать либо 11 кам­ней, либо 27 кам­ней. В обеих этих по­зи­ци­ях вы­иг­ры­ва­ет игрок, ко­то­рый будет де­лать ход (те­перь это Валя).

Слу­чай S = 11 рас­смот­рен в п. 2, слу­чай S = 27 рас­смот­рен в п. 1а.

В таб­ли­це изоб­ра­же­но де­ре­во воз­мож­ных пар­тий при опи­сан­ной стра­те­гии Вали. За­клю­чи­тель­ные по­зи­ции (в них вы­иг­ры­ва­ет Валя) под­черк­ну­ты. На ри­сун­ке это же де­ре­во изоб­ра­же­но в гра­фи­че­ском виде (оба спо­со­ба изоб­ра­же­ния де­ре­ва до­пу­сти­мы).

 

 

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Вы­пол­не­ны вто­рое и тре­тье за­да­ния.

Для пер­во­го за­да­ния пра­виль­но пе­ре­чис­ле­ны по­зи­ции, в ко­то­рых Паша вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом (п. 1а) и пра­виль­но ука­за­но, кто из иг­ро­ков имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию при ука­зан­ных зна­че­ни­ях S (пункт 1б). При этом до­пус­ка­ют­ся недочёты сле­ду­ю­щих типов:

— в п. 1а не ука­за­но, каким ходом вы­иг­ры­ва­ет Паша;

— в п. 1б не ука­за­но, что иг­ро­кам нет смыс­ла утра­и­вать ко­ли­че­ство кам­ней в куче.

Здесь и далее в ре­ше­ни­ях до­пус­ка­ют­ся ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют сути ре­ше­ния и не при­во­дят к не­пра­виль­но­му от­ве­ту

3
Не вы­пол­не­ны усло­вия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих усло­вий:

— Вы­пол­не­но тре­тье за­да­ние.

— Вы­пол­не­ны пер­вое и вто­рое за­да­ния.

— Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но, воз­мож­но, при на­ли­чии недочётов, ука­зан­ных в кри­те­ри­ях на 3 балла; для вто­ро­го за­да­ния (i) пра­виль­но ука­за­но, кто из иг­ро­ков имеет вы­иг­рыш­ную стра­те­гию в каж­дой из ука­зан­ных по­зи­ций, и (ii) пра­виль­но ука­зан пер­вый ход Паши при вы­иг­рыш­ной стра­те­гии, од­на­ко не ука­за­но, что после вы­бран­но­го хода Паши по­лу­ча­ет­ся по­зи­ция, вы­иг­рыш­ная для Вали; для тре­тье­го за­да­ния пра­виль­но ука­зан игрок, име­ю­щий

вы­иг­рыш­ную стра­те­гию

2
Не вы­пол­не­ны усло­вия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 или 2 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих усло­вий.

— Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но, воз­мож­но, с недочётами, ука­зан­ны­ми в кри­те­ри­ях на 3 балла.

— Вто­рое за­да­ние вы­пол­не­но, воз­мож­но, с недочётами, ука­зан­ны­ми в кри­те­ри­ях на 2 балла.

— Для за­да­ний 2 и 3 во всех слу­ча­ях пра­виль­но ука­зан игрок, име­ю­щий вы­иг­рыш­ную стра­те­гию

1
Не вы­пол­не­но ни одно из усло­вий, поз­во­ля­ю­щих по­ста­вить 3, 2 или 1 балл0
Мак­си­маль­ный балл3
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026