Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 65 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 64.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
1. а) При каких значениях числа S Петя может выиграть в один ход? Укажите все такие значения.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
2. Укажите три таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём
— Петя не может выиграть за один ход, но
— Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для каждого из указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.
3. Укажите значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, однако у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть 1-м ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.
1. а) Петя может выиграть, если S = 22, …, 64. Для этого ему достаточно утроить количество камней в куче. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 64 камней.
б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 21 камень. Тогда после первого хода Пети в куче будет 22 камня или 23, камня или 63 камня. Во всех случаях Ваня утраивает количество камней и выигрывает первым ходом.
2. Возможные значения S: 19, 20, 7. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 21 камня (при S = 19 нужно добавить 2 камня, при S = 20 нужно добавить 1 камень, при S = 7 нужно утроить количество камней). Ситуация, когда в куче 21 камень, разобрана в п. 1 б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.
3. Возможное значение S: 18. После первого хода Пети в куче будет 19 камней, 20 камней или 54 камня. Если в куче станет 54 камня, Ваня утроит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуации, когда в куче 19 или 20 камней уже разобраны в п. 2. В этих ситуациях игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом. В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня подчёркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).