Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в кучу один камень, или
добавить в кучу три камня, или
увеличить количество камней в куче в два раза.
Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11, 13 или 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 49. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 50 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 49.
Говорят, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Выполните следующие задания.
Задание 1
а) При каких значениях числа S Петя может выиграть первым ходом?
Укажите все такие значения и выигрывающий ход Пети.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2
Укажите три значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3
Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.
Задание 1
а) Петя может выиграть, если S = 25, …, 49; для этого ему достаточно увеличить количество камней в 2 раза. При меньших значениях S за один ход получить кучу, в которой будет 50 или более камней, нельзя.
б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 24 камня. Тогда после первого хода Пети в куче будет 25, 27 или 48 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в 2 раза и выигрывает в один ход.
Задание 2
Возможные значения S: 12, 21, 23. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 24 камней (при S = 12 он удваивает количество камней; при S = 21 добавляет 3 камня; при S = 23 добавляет 1 камень). Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (в данном случае это Ваня), выиграть не может, а его противник (т. е. Петя) следующим ходом выиграет.
Задание 3
Комментарий для проверяющего. Возможны два значения S: 20 и 22. Ученику достаточно привести одно из них. Ниже приведены решения для каждого из этих случаев. Дерево возможных партий приведено только для S = 22.
А. Возможное значение S: 20. После первого хода Пети в куче будет 21 камень, 23 камня или 40 камней. Если в куче станет 40 камней, то Ваня увеличит количество камней в 2 раза и выиграет своим первым ходом. Ситуации, когда в куче 21 камень или 23 камня, разобраны в п. 2. В этих ситуациях игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.
Б. Возможное значение S: 22. После первого хода Пети в куче будет 23 камня, 25 камней или 44 камня. Если в куче станет 25 камней или 44 камня, то Ваня увеличит количество камней в 2 раза и выиграет своим первым ходом. Ситуация, когда в куче 23 камня, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.
В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) отмечены знаком >>. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).