Тип 13 № 9373 
Оператор присваивания и ветвления. Перебор вариантов, построение дерева. Поиск количества программ по заданному числу
i
Исполнитель Май15 преобразует число на экране. У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:
1. Прибавить 1.
2. Умножить на 2.
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2. Программа для исполнителя Май15 — это последовательность команд. Сколько существует программ, для которых при исходном числе 2 результатом является число 29 и при этом траектория вычислений содержит число 14 и не содержит числа 25?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов
выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.
Решение. Для ответа на задачу нужно найти количество программ, которые из 2 получают 14, количество программ, которые из 14 получают 29, не проходя при этом через 25, и перемножить найденные значения. Сначала найдём количество программ, получающих 14.
Обозначим R(n) количество программ, которые преобразуют число 2 в число n.
Верны следующие соотношения.
1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n – 1), так как существует единственный способ получения n из n – 1 — прибавление единицы.
2. Пусть n делится на 2.
Тогда R(n) = R(n : 2) + R(n – 1).
Теперь можно постепенно вычислить все значения:
R(4) = R(2) + R(3) = 1 + 1 = 2 = R(5);
R(6) = R(3) + R(5) = 1 + 2 = 3 = R(7);
R(8) = R(4) + R(7) = 2 + 3 = 5 = R(9);
R(10) = R(5) + R(9) = 2 + 5 = 7 = R(11);
R(12) = R(6) + R(11) = 3 + 7 = 10 = R(13);
R(14) = R(7) + R(13) = 3 + 10 = 13.
Программа, получающая из числа 14 число 29, не проходящих через 25, одна: 21.
Таким образом, всего программ 13 · 1 = 13.
Ответ: 13.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y or x == 25:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y)
print(f(2, 14) * f(14, 29))
Ответ: 13
PDF-версии: