РЕШУ ЕГЭ — информатика

Задания

Для заданной последовательности целых чисел необходимо найти максимальную сумму квадратов двух её элементов, номера которых различаются не менее чем на 10. Значение каждого элемента последовательности не превышает 100. Количество элементов последовательности не превышает 10000.

Вам предлагаются два задания, связанные с этой задачей: задание А и задание Б. Вы можете решать оба задания А и Б или одно из них по своему выбору.

Итоговая оценка выставляется как максимальная из оценок за задания А и Б. Если решение одного из заданий не представлено, то считается, что оценка за это задание составляет 0 баллов.

Задание Б является усложненным вариантом задания А, оно содержит дополнительные требования к программе.

      А. Напишите на любом языке программирования программу для решения поставленной задачи, в которой входные данные будут запоминаться в массиве, после чего будут проверены все возможные пары элементов.

Перед программой укажите версию языка программирования. Обязательно укажите, что программа является решением задания А.

Максимальная оценка за выполнение задания А – 2 балла.

      Б. Напишите программу для решения поставленной задачи, которая будет эффективна как по времени, так и по памяти (или хотя бы по одной из этих характеристик).

Программа считается эффективной по времени, если время работы программы пропорционально количеству элементов последовательности N, т. е. при увеличении N в k раз время работы программы должно увеличиваться не более чем в k раз.

Программа считается эффективной по памяти, если размер памяти, использованной в программе для хранения данных, не зависит от числа N и не превышает 1 килобайта. Перед программой укажите версию языка программирования и кратко опишите использованный алгоритм.

Обязательно укажите, что программа является решением задания Б.

Максимальная оценка за правильную программу, эффективную по времени и по памяти, – 4 балла.

Максимальная оценка за правильную программу, эффективную по времени, но неэффективную по памяти, – 3 балла.

Решение. Задание Б (решение для задания А приведено ниже, см. программу 3). Для каждого элемента с номером k (нумерацию начинаем с 1), начиная с k = 11, рассмотрим все допустимые по условиям задачи пары, в которых данный элемент является вторым.

Максимальная сумма квадратов элементов этих пар будет получена, если первым в паре будет взят максимальный элемент среди всех, от первого и до элемента с номером k-10. Для получения эффективного по времени решения нужно по мере ввода данных помнить максимальное текущее значение, квадрат каждого вновь введенного значения суммировать с квадратом максимума, найденным на 10 элементов ранее, и выбрать максимальную из всех таких сумм.

Поскольку каждое текущее максимальное значение используется после ввода ещё 10 элементов и после этого становится ненужным, достаточно хранить только 10 последних максимумов. Для этого можно использовать буферный массив из 10 элементов и циклически заполнять его по мере ввода данных.

Размер этого массива не зависит от общего количества введенных элементов, поэтому такое решение будет эффективным не только по времени, но и по памяти.

Ниже приводится пример такой программы

Программа 1. Пример правильной и эффективной программы на языке Паскаль:

pprogram N_27; const d = 10; var N: integer; a: array[0..d-1] of integer; {буфер} {k-е введенное число записываем в ячейку a[k mod d]} x: integer; mx: integer; {максимальное введенное число} {(не считая 10 последних)} m: integer; {максимальное значение суммы квадратов} i: integer; begin     readln(N); {Ввод первых d чисел}     for i:=0 to d-1 do     begin         readln(x);         a[i mod d] := x     end; { Ввод остальных элементов, поиск максимальной суммы квадратов}     mx := 0; m := 0;     for i := d to N-1 do     begin         readln(x);         if abs(a[i mod d]) > abs(mx) then mx := abs(a[i mod d]);         if x*x + mx*mx > m then m := x*x + mx*mx;         a[i mod d] := abs(x)     end;     writeln(m) end.

Программа 2. Пример правильной программы на языке Паскаль, эффективной по времени, но неэффективной по памяти:

const d = 10;

var

N: integer;

a: array[1..10000] of integer; {хранение всех

элементов последовательности}

mn:integer; {максимальное введенное число}

{не считая d последних}

m:integer; {максимальное значение суммы квадратов}

i: integer;

begin

    readln(N);{Ввод всех элементов последовательности}

    for i:=1 to N do readln(a[i]);

    mn := 0;

    m := 0;

    for i := d + 1 to N do

    begin

        if a[i-d] > mn then mn := a[i-d];

        if a[i]*a[i]+mn*mn > m then m := a[i]*a[i]+mn*mn

    end;

    writeln(m)

end.

Программа 3. Пример правильной программы на языке Паскаль, не эффективной ни по времени, ни по памяти:

Const d = 10;

var

N: integer;

a: array[1..10000] of integer;

{хранение всех элементов}

m: integer; {максимальное значение суммы квадратов}

i, j: integer;

begin

    readln(N);

{Ввод значений элементов}

    for i:=1 to N do readln(a[i]);

    m := 0;

    for i := 1 to N-d do begin

        for j := i+d to N do begin

            if a[i]*a[i]+a[j]*a[j]>m then

                m := a[i]*a[i]+a[j]*a[j];

        end;

    writeln(m)

end.

Критерии проверки:

Пояснения для проверяющих.

1. Задание Б является усложнением задания А. Если в качестве решения задания Б представлено решение задания А, то согласно приведённым ниже критериям, его оценка будет такой же, как если бы это решение было представлено в качестве решения задания А.

2. Два задания и, соответственно, возможность для экзаменуемого представить две программы дают ученику возможность (при его желании) сначала написать менее сложное и менее эффективное решение (задание А), которое даёт ему право получить два балла, а затем приступить к поиску более эффективного решения.

3. Каждая из программ, представленных экзаменуемым (но не более двух), оценивается по нижеследующим критериям. В качестве итоговой оценки берётся наибольшая из двух оценок.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Программа правильно работает для любых входных данных произвольного размера. Используемая память не зависит от количества прочитанных чисел, а время работы пропорционально этому количеству. Допускается наличие в тексте программы до трех синтаксических ошибок одного из следующих видов: 1) пропущен или неверно указан знак пунктуации; 2) неверно написано или пропущено зарезервированное слово языка программирования; 3) не описана или неверно описана переменная; 4) применяется операция, недопустимая для соответствующего типа данных. Если одна и та же ошибка встречается несколько раз, это считается за одну ошибку.	4
Не выполнены условия, позволяющие поставить 4 балла. Программа в целом работает правильно для любых входных данных произвольного размера. Время работы пропорционально количеству введённых чисел, правильно указано, какие величины должны вычисляться по ходу чтения элементов последовательности чисел. Количество синтаксических ошибок (описок) указанных выше видов — не более пяти. Используемая память, возможно, зависит от количества прочитанных чисел (например, входные данные запоминаются в массиве или другой структуре данных (контейнер priority_queue, vector, set или map в С++)). Допускается ошибка при вводе данных, неверный или неполный вывод результатов или неверная работа программы в «экзотических» ситуациях. Кроме того, допускается наличие одной ошибки, принадлежащей к одному из следующих видов ошибок: 1) ошибка при инициализации минимумов; 2) неверно обрабатывается ситуация, когда один или несколько миниимумов не определены; 3) допущен выход за границу массива; 4) используется знак < вместо <=, or вместо and и т. п.	3
Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 или 4 балла. Программа работает в целом верно, эффективно или нет, но, в реализации алгоритма есть до двух содержательных ошибок, допустимые виды ошибок перечислены в критериях на 3 балла. Количество синтаксических описок не должно быть более девяти. Программа может быть неэффективна по времени. Например, все числа запоминаются в массиве и перебираются все возможные пары элементов последовательности: min := 2001; for i := 1 to N - 1 do begin for j := i + 1 to N do begin if ((a[i]+a[j]) mod 2 = 1) and (a[i]+a[j] < min) then min := a[i]+a[j]; end end;	2
Не выполнены условия, позволяющие поставить 2, 3 или 4 балла. Из описания алгоритма или общей структуры программы видно, что экзаменуемый в целом правильно представляет путь решения задачи независимо от эффективности. При этом программа может отсутствовать или быть представленной отдельными фрагментами, без ограничений на количество ошибок.	1
Не выполнены критерии, позволяющие поставить 1, 2, 3 или 4 балла	0
Максимальный балл	4

Ключ