РЕШУ ЕГЭ — информатика

Задания

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

—  убрать из кучи 3 камня;

—  убрать из кучи 5 камней;

—  уменьшить количество камней в куче в 4 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 5 камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 30.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из 30 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 31.

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

—  у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

—  у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение. Приведём решение на языке Python.

def f(x, h):

if (h == 3 or h == 5) and x <= 30:

return 1

elif h == 5 and x > 30:

return 0

elif x <= 30 and h < 5:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f(x - 3, h + 1) or f(x - 5, h + 1) or f(x // 4, h + 1)

else:

return f(x - 3, h + 1) and f(x - 5, h + 1) and f(x // 4, h + 1)

def f1(x, h):

if h == 3 and x <= 30:

return 1

elif h == 3 and x > 30:

return 0

elif x <=30 and h < 3:

return 0

else:

if h % 2 == 0:

return f1(x - 3, h + 1) or f1(x - 5, h + 1) or f1(x // 4, h + 1)

else:

return f1(x - 3, h + 1) and f1(x - 5, h + 1) and f1(x // 4, h + 1)

for x in range(200):

if f(x, 1) == 1:

print(x)

print("====")

for x in range(200):

if f1(x, 1) == 1:

print(x) # Исключим эти значения из списка выше

Ответ: 132.

Приведём аналитическое решение Александра Козлова.

Решение задач с камешками методом «Лунная походка»

Задача 21

Продолжаем перебор позиций. Анализ позиции для Вани:

Мы ищем минимальное значение S, при котором Ваня имеет выигрышную стратегию и не может гарантированно выиграть первым ходом.

Проверяем позицию 132:

Если Петя сходит 132/4 = 33  — Ваня выигрывает, согласно вывода 1 задачи 19.

132−3=129  — Ваня также выигрывает исходя из вывода 3 задачи 20

132−5=127  — Ваня выигрывает исходя из вывода 3 задачи 20

Таким образом, все возможные ходы Пети ведут к победе Вани.

Ответ на задачу 21: Минимальное значение S=132.

Приведём решение Александра Козлова на языке Python.

from functools import *

def m(h):

return h//4,h-3,h-5

@lru_cache(None)

def g(h):

if h<=30:return 'w'

if any(g(i)=='w' for i in m(h)):return 'p1'

if all(g(i)=='p1' for i in m(h)):return 'v1'

if any(g(i)=='v1' for i in m(h)):return 'p2'

if all(g(i)=='p1' or g(i)=='p2' for i in m(h)):return 'v2'

for i in range(120,140):

if g(i)!= None and g(i)!='w':

print(i,g(i))

№ п/п	№ задания	Ответ
1	81805	132

Ключ