Тип 15 № 73870 
Преобразование логических выражений. Числовые отрезки
i
На числовой прямой даны три отрезка: P = [160 653; 428 792], Q = [265 386; 776 116], R = [357 752; 897 168].
Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение
(¬(x ∈ A)) → (((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q)) → ((x ∈ R) ≡ (x ∈ Q))).
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной x.
Решение. Введем обозначения:
(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q ;(x ∈ R) ≡ R.
Применив преобразование импликации, получаем:
¬A → ((P ≡ Q) →(R ≡ Q)) =A ∨ ((P ≡ Q) →(R ≡ Q)) .
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Необходимо найти такой промежуток А, где выражение
((P ≡ Q) →(R ≡ Q)) ложно. Импликация ложно только в одном случае, когда первое высказывание истина. а второе высказывание ложно.
Выражение (P ≡ Q) истинно на множестве (−∞, 160 653] ∪ [265 386, 428 792] ∪ [ 776 116, +∞).
Выражение (R ≡ Q) ложно на множестве [265 386, 357 752] ∪ [ 776 116, 897 168].
Выражение ((P ≡ Q) →(R ≡ Q)) ложно на множестве [265 386, 357 752] ∪ [ 776 116, 897 168]. Следовательно, А должно быть истинно на этом промежутке. Тогда минимальная длинна А равна 897 168-265 386=631782.
Ответ: 631782.
Ответ: 631782
PDF-версии: