Тип 23 № 6965 
Оператор присваивания и ветвления. Перебор вариантов, построение дерева. Поиск количества программ по заданному числу
i
У исполнителя три команды, которым присвоены номера.
1. Прибавь 1.
2. Сделай чётное.
3. Сделай нечётное.
Первая из них увеличивает на 1 число x на экране, вторая умножает это число на 2, третья переводит число x в число 2x + 1. Например, вторая команда переводит число 10 в число 20, а третья переводит число 10 в число 21.
Программа для исполнителя — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 2 преобразуют в число 16?
Решение. Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 2 в число n.
Верны следующие соотношения.
1. Если n нечётное, то тогда R(n) = R(n – 1) + R((n – 1) : 2) (если n > 5), так как есть два способа получения n: прибавлением единицы или использованием команды 3.
2. Если n чётное, то тогда R(n) = R(n – 1) + R(n : 2) (если n > 4), так как есть два способа получения n: прибавлением единицы или использованием команды 2.
Достаточно вычислить значения R(n) для всех чисел, не превосходящих 16.
Имеем:
R(3) = 1;
R(4) = 2;
R(5) = 3;
R(6) = R(5) + R(3) = 3 + 1 = 4;
R(7) = R(6) + R(3) = 4 + 1 = 5;
R(8) = R(7) + R(4) = 5 + 2 = 7;
R(9) = R(8) + R(4) = 7 + 2 = 9;
R(10) = R(9) + R(5) = 9 + 3 = 12;
R(11) = R(10) + R(5) = 12 + 3 = 15;
R(12) = R(11) + R(6) = 15 + 4 = 19;
R(13) = R(12) + R(6) = 19 + 4 = 23;
R(14) = R(13) + R(7) = 23 + 5 = 28;
R(15) = R(14) + R(7) = 28 + 5 = 33;
R(16) = R(15) + R(8) = 33 + 7 = 40.
Ответ: 40.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x == y:
return 1
if x > y:
return 0
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y) + f(2 * x + 1, y)
print(f(2, 16))
Ответ: 40
PDF-версии: