Тип Д15 № 4816 
Преобразование логических выражений. Числовые отрезки
i
На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5,15]. Выберите такой отрезок A, что формула
((x ∈ Q) → (x ∈ P)) ∧ (x ∈ А)
тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.
1) [0, 6]
2) [5, 8]
3) [7, 15]
4) [12, 20]
Решение. Логическое И ложно, если ложно хотя бы одно утверждение.
Введем обозначения:
(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Применив преобразование импликации, получаем:
(¬Q ∨ P) ∧ A
P∨¬Q ложно тогда, когда x∈[5;10). Выражение A должно быть ложно на интервале (– ∞,5);[10,∞). Поскольку все выражение должно быть ложно для ЛЮБОГО x, следовательно, выражение A должно быть истинно на полуинтервале [5;10) или на любом другом, полностью включающимся в этот интервал.
Из всех отрезков только отрезок [5;8] удовлетворяет этому условию.
Ответ: 2
PDF-версии: