Тип 23 № 47227 
Оператор присваивания и ветвления. Перебор вариантов, построение дерева. Количество программ с обязательным и избегаемым этапами
i
Исполнитель преобразует число на экране. У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера.
1. Прибавить 1.
2. Умножить на 2.
Программа для исполнителя — это последовательность команд.
Сколько существует программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число 35, при этом траектория вычислений содержит число 10 и не содержит 17?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.
Решение. Искомое количество программ равно произведению количества программ, получающих из числа 1 число 10, на количество программ, получающих из числа 10 число 35, траектория вычислений не должна содержать числа 17.
Пусть R(n) — количество программ, которые число 1 преобразуют в число n.
Верны следующие соотношения.
1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n – 1), так как существует единственный способ получения n из n − 1 — прибавление единицы.
2. Пусть n делится на 2.
Если n > 1, то R(n) = R(n : 2) + R(n – 1).
R(1) = 1;
R(2) = R(1) + R(1) = 2;
R(3) = R(2) = 2;
R(4) = R(3) + R(2) = 2 + 2) = 4;
R(5) = R(4) = 4;
R(6) = R(5) + R(3)) = 4 + 2) = 6;
R(7) = R(6) = 6;
R(8) = R(7) + R(4)) = 6 + 4) = 10;
R(9) = R(8) = 10;
R(10) = R(9) + R(5) = 10 + 4 = 14.
Программ для получения числа 35 из числа 10 всего 7, можно их перечислить: 21..1, 121..1, 1121..1, 11121..1, 111121..1, 1111121..1, 11111121..1.
Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи, равно 14 · 7 = 98.
Ответ: 98.
Приведём другое решение на языке Python.
def F(x,y):
if x>y or x==17:
return 0
if x==y:
return 1
else:
return F(x+1,y)+F(x*2,y)
print (F(1,10)*F(10,35))
Ответ: 98
PDF-версии: