На числовой прямой даны два отрезка: P = [1, 39] и Q = [23, 58]. Какова наибольшая возможная длина интервала A, что логическое выражение
((x ∈ P) → ¬(x ∈ Q)) → ¬(x ∈ А)
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Решение. Введем обозначения:
(x ∈ А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q.
Преобразовав, получаем:
¬(P → ¬Q) ∨ ¬A = P ∧ Q ∨ ¬A.
Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Логическое И истинно, когда истинны оба утверждения. Условию P ∧ Q = 1 удовлетворяет отрезок [23;39]. Поскольку выражение P ∧ Q ∨ ¬A должно быть тождественно истинным, выражение ¬A должно быть истинно на лучах (−∞, 23) и (39, ∞). Значит, наибольшая возможная длина интервала A равна 39 − 23 = 16.
Ответ: 16.
Примечание.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
