Тип 23 № 26965 
Оператор присваивания и ветвления. Перебор вариантов, построение дерева. Количество программ с обязательным этапом
i
Исполнитель преобразует число на экране. У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера.
1. Прибавить 1.
2. Прибавить 2.
3. Умножить на 2.
Сколько существует программ, для которых при исходном числе 4 результатом является число 13 и при этом траектория вычислений содержит число 11?
Решение. Искомое количество программ равно произведению количества программ, получающих из числа 4 число 11, на количество программ, получающих из числа 11 число 13.
Пусть R(n) — количество программ, которые число 4 преобразуют в число n, а P(n) — количество программ, которые число 11 преобразуют в число n.
Для всех n > 7 верны следующие соотношения:
1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n – 1) + R(n – 2), так как существует два способа получения n — прибавлением единицы или прибавлением двойки. Аналогично P(n) = P(n – 1) + P(n – 2).
2. Если n делится на 2, тогда R(n) = R(n – 1) + R(n – 2) + R(n : 2). Аналогично P(n) = P(n – 1) + P(n – 2) + P(n : 2).
Последовательно вычислим значения R(n):
R(4) = 1;
R(5) = R(4) = 1;
R(6) = R(4) + R(5) = 1 + 1 = 2;
R(7) = R(5) + R(6) = 2 + 1 = 3;
R(8) = R(6) + R(7) + R(4) = 2 + 3 + 1 = 6;
R(9) = R(7) + R(8) = 3 + 6 = 9;
R(10) = R(8) + R(9) + R(5) = 6 + 9 + 1 = 16;
R(11) = R(9) + R(10) = 9 + 16 = 25.
Теперь вычислим значения P(n):
P(11) = 1;
P(12) = P(11) = 1;
P(13) = P(11) + P(12) = 2.
Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи, равно 25 · 2 = 50.
Ответ: 50.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x + 2, y) + f(x * 2, y)
print(f(4, 11) * f(11, 13))
Ответ: 50
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем