Ре­ше­ние. Так как число 75 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем N кон­ча­ет­ся на 13, то число 75 в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на N долж­но да­вать оста­ток 3 (т. е. y - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, N - ос­но­ва­ние ис­ко­мой си­сте­мы счис­ле­ния) и част­ное от этого де­ле­ния y долж­но да­вать оста­ток 1 при де­ле­нии на N (т. е. z - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но, где

Иначе го­во­ря, долж­но быть крат­ным От­бро­сим сразу те N, ко­то­рые при вы­чи­та­нии из 72 дают про­стые числа, а также те, квад­ра­ты ко­то­рых боль­ше 72: 1, 5, 9, 10, и так далее до бес­ко­неч­но­сти.

Но при этом 72 тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем дан­ной за­да­чи, так как 72 – осо­бый слу­чай, ведь

Итого оста­ет­ся еще 2, 3, 4, 6, 7 и 8. Из них под­хо­дит толь­ко 8.

Ответ: 8, 72.

При­ме­ча­ние.

Не­ко­то­рые чи­та­те­ли могут по­ду­мать, что под­хо­дят также ос­но­ва­ния 31 и 62, по­сколь­ку после де­ле­ния остаётся оста­ток «13», ко­то­рый, ка­за­лось бы, даёт же­ла­е­мую трой­ку на конце. Но этот оста­ток пред­став­ля­ет­ся в ука­зан­ных си­сте­мах счис­ле­ния одним сим­во­лом, бук­вой D, то есть число не будет окан­чи­вать­ся на по­сле­до­ва­тель­ность цифр 13.