РЕШУ ЕГЭ — информатика

Задания

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x₁, x₂, ... x₉, y₁, y₂, ... y₉, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям:

$левая круглая скобка не равно g левая круглая скобка x_1\equiv y_1 правая круглая скобка arrow не равно g левая круглая скобка x_2 \equiv y_2 правая круглая скобка правая круглая скобка \wedge левая круглая скобка x_1 arrow x_2 правая круглая скобка \wedge левая круглая скобка y_1 arrow y_2 правая круглая скобка =1;$

$левая круглая скобка не равно g левая круглая скобка x_2\equiv y_2 правая круглая скобка arrow не равно g левая круглая скобка x_3 \equiv y_3 правая круглая скобка правая круглая скобка \wedge левая круглая скобка x_2 arrow x_3 правая круглая скобка \wedge левая круглая скобка y_2 arrow y_3 правая круглая скобка =1;$

$...$

$левая круглая скобка не равно g левая круглая скобка x_8\equiv y_8 правая круглая скобка arrow не равно g левая круглая скобка x_9 \equiv y_9 правая круглая скобка правая круглая скобка \wedge левая круглая скобка x_8 arrow x_9 правая круглая скобка \wedge левая круглая скобка y_8 arrow y_9 правая круглая скобка =1?$

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x₁, x₂, ... x₉, y₁, y₂, ... y₉, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение. Будем обозначать набор входных переменных уравнения кортежем из четырёх чисел $левая круглая скобка x_1, y_1, x_2, y_2 правая круглая скобка .$

Рассмотрим первое уравнение. Переберём все 16 наборов переменных, подойдут 7 из них:

$левая круглая скобка 0, 0, 0, 0 правая круглая скобка , левая круглая скобка 0, 0, 1, 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 0, 0, 0, 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 0, 0, 1, 0 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1, 0, 1, 0 правая круглая скобка , левая круглая скобка 0, 1, 0, 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1, 1, 1, 1 правая круглая скобка .$

Так как в следующем уравнении встречаются $x_2, y_2,$ посчитаем, какие пары $левая круглая скобка x_2,y_2 правая круглая скобка$ и сколько раз вошли в наборы, удовлетворяющие первому уравнению: (0, 0) - 1, (0, 1) - 2, (1, 0) - 2, (1, 1) - 2.

Будем подставлять эти $левая круглая скобка x_2, y_2 правая круглая скобка$ на место $x_3,y_3$ во второе уравнение. Так как оно эквивалентно первому уравнению, то можно просто брать $x_2,y_2$ и находить среди решений первого уравнения кортежи, которые начинаются так же.

То есть (0, 0) даст решения (0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0). (0, 1) - (0, 1, 0, 1). (1, 0) - (1, 0, 1, 0). (1, 1) - (1, 1, 1, 1).

Посчитаем, сколько каких пар $x_3,y_3$ получилось среди всех решений системы из первых двух уравнений. Получилось (0, 0) - 1, (0, 1) - 3, (1, 0) - 3, (1, 1) - 3.

Перейдя к следующему уравнению, получим (0, 0) - 1, (0, 1) - 4, (1, 0) - 4, (1, 1) - 4.

И так далее, с каждым уравнением количество решений будет увеличиваться на 3.

Изначально было 7 решений, плюс ещё 7 уравнений, каждое из которых добавляет по 3 решения.

Итого $7 плюс 7 умножить на 3 = 28.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	10397	28

Ключ