Ре­ше­ние. Для сло­же­ния спра­вед­лив пе­ре­ме­сти­тель­ный (ком­му­та­тив­ный) закон, зна­чит, по­ря­док ко­манд в про­грам­ме не имеет зна­че­ния для ре­зуль­та­та.

Обе ко­ман­ды уве­ли­чи­ва­ют ис­ход­ное число, по­это­му ко­ли­че­ство ко­манд не может пре­вос­хо­дить (22 − 2)/2 = 10. При этом ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ко­манд  — 5 (т. к. (22 −2)/4 = 5).

Таким об­ра­зом, ко­манд может быть 5, 6, 7, 8, 9 или 10. Как было ска­за­но выше, по­ря­док ко­манд не имеет зна­че­ния, каж­до­му числу ко­манд со­от­вет­ству­ет один набор ко­манд, ко­то­рые можно рас­по­ло­жить в любом по­ряд­ке. Пяти ко­ман­дам со­от­вет­ству­ет набор 22222 (1 воз­мож­ный ва­ри­ант рас­по­ло­же­ния), 6 ко­ман­дам  — набор 222211 (здесь по­лу­ча­ет­ся 15 воз­мож­ных ва­ри­ан­тов рас­по­ло­же­ния: это число пе­ре­ста­но­вок с по­вто­ре­ни­я­ми P₆(2,4)=6!/(2! · 4!)), 7 ко­ман­дам  — 2221111 (35 воз­мож­ных ва­ри­ан­тов рас­по­ло­же­ния), 8 ко­ман­дам  — 22111111 (28 воз­мож­ных ва­ри­ан­тов рас­по­ло­же­ния), 9 ко­ман­дам  — 211111111 (9 ва­ри­ан­тов рас­по­ло­же­ния), 10 ко­ман­дам  — 1111111111 (1 ва­ри­ант рас­по­ло­же­ния). Всего имеем 89 про­грамм.

Ответ: 89.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.