Ре­ше­ние. Обо­зна­чим R(n)  — ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые пре­об­ра­зу­ют число 2 в число n. Обо­зна­чим t(n) наи­боль­шее крат­ное 2, не пре­вос­хо­дя­щее n. За­ме­тим, что мы можем по­лу­чить толь­ко числа, крат­ные 2.

Верны сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

1.  Если n не де­лит­ся на 2, то тогда R(n) = R(t(n)), так как су­ще­ству­ет един­ствен­ный спо­соб по­лу­че­ния n из t(n)  — при­бав­ле­ни­ем еди­ниц.

2.  Пусть n де­лит­ся на 2. Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n − 1)= R(n / 2) + R(n − 2) (если n > 2). При n = 2 R(n)) = 1 (один спо­соб: при­бав­ле­ни­ем еди­ни­цы). По­это­му до­ста­точ­но по­сте­пен­но вы­чис­лить зна­че­ния R(n) для всех чисел, крат­ных 2 и не пре­вос­хо­дя­щих 21.

Имеем:

R(2)= 2 = R(3),

R(4)= 2 + 2 = 4 = R(5),

R(6) = 2 + 4 = 6 = R(7),

R(8) = R(4)+R(6) = 4 + 6 = 10 = R(9),

R(10) = R(5) + R(8) = 4 + 10 = 14 = R(11),

R(12) = R(6) + R(10) = 6 + 14 = 20 = R(13),

R(14) = R(7) + R(12) = 6 + 20 = 26 = R(15),

R(16) = R(8) + R(14) = 10 + 26 = 36 = R(17),

R(18) = R(9) + R(16) = 10 + 36 = 46 = R(19),

R(20) = R(10) + R(18) = 14 + 46 = 60 = R(21).

Ответ: 60.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.