Ре­ше­ние. Со­ста­вим урав­не­ния для пе­ре­во­да числа N в 11-ю си­сте­му счис­ле­ния.

Из урав­не­ния сле­ду­ет, что число N-1 крат­но 11.

Наи­боль­шее число, со­дер­жа­щее две цифры, в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 6 это 55₆ = 35₁₀.

Числа, для ко­то­рых вер­ное усло­вие "N-1 крат­но 11", это 12, 23, 34.

Числа 12 и 23 не под­хо­дят, по­сколь­ку в 5-й си­сте­ме счис­ле­ния со­дер­жат 2 цифры. Сле­до­ва­тель­но, ответ 34.

При­ведём ре­ше­ние Ан­дрея Сам­со­но­ва.

За­пись числа N в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 6 со­дер­жит две цифры:

За­пись этого числа в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5 со­дер­жит три цифры: 25 ≤ N < 125. Объ­еди­ним не­ра­вен­ства и по­лу­чим, что 25 ≤ N < 36. N в один­на­дца­ти­рич­ной окан­чи­ва­ет­ся на 1, зна­чит, N можно пред­ста­вить как 11k+1.

Целое k, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию, равно 3. N  =  11k + 1=11*3 + 1  =  34.

Ответ: 34.