Ре­ше­ние. По­стро­им пол­ное де­ре­во ре­ше­ний и под­счи­та­ем ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов. Рас­смот­рим сна­ча­ла ветвь, где пер­вая ко­ман­да умно­же­ние:

1)  3 → 6 → 12 → 13 → ... → 23

2)  6 → 7 → 14 → ... → 23

3)  7 → 8 → 16 → ... → 23

4)  8 → 9 → 18 → ... → 23

5)  9 → 10 → 20 → ... → 23

6)  10 → 11 → 22 → ...23

7)  11 → 12 → ... → 23

Те­перь рас­смот­рим ветвь, где пер­вая ко­ман­да сло­же­ние, вто­рая умно­же­ние:

8)  3 → 4 → 8 → 16 → ... → 23

9)  8 → 9 → 18 → ... → 23

10) 9 → 10 → 20 → ... → 23

11) 10 → 11 → 22 → ...23

12) 11 → 12 → ... → 23

Ветвь, где пер­вая и вто­рая ко­ман­да сло­же­ние:

13) 3 → 4 → 5 → 10 → 20 → ... → 23

14) 10 → 11 → 22 → .. → 23

15) 11 → 12 → ... → 23

Пер­вые три и более ко­манд сло­же­ние:

16) 3 → 4 → 5 → 6 → 12 → ... → 23

Ещё 6 про­грамм будут иметь такой же конец, как про­грам­мы 2  — 7.

Всего 22 про­грам­мы.

Ответ: 22.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.