Ре­ше­ние. Ис­ко­мое ко­ли­че­ство про­грамм равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства про­грамм, по­лу­ча­ю­щих из числа 1 число 15, при этом тра­ек­то­рия вы­чис­ле­ний долж­на со­дер­жать числа 10 и 12.

Пусть R(n)  — ко­ли­че­ство про­грамм, ко­то­рые число 2 пре­об­ра­зу­ют в число n.

Верны сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния:

R(n)  =  R(n – 1) + R(n : 3) (если n крат­но 3) + R(n – 2).

R(1)  =  1;

R(2)  =  R(1)  =  1;

R(3)  =  R(2) + R(1) + R(1)  =  3;

R(4)  =  R(3) + R(2)  =  4;

R(5)  =  R(4) + R(3)  =  7;

R(6)  =  R(5) + R(2) + R(4)  =  12;

R(7)  =  R(6) + R(5)  =  19;

R(8)  =  R(7) + R(6)  =  31;

R(9)  =  R(8) + R(3) + R(7)  =  53;

R(10)  =  R(9) + R(8)  =  84;

R(11)  =  R(10)  =  84;

R(12)  =  R(11) + R(10)  =  168;

R(13)  =  R(12)  =  168;

R(14)  =  R(13) + R(12)  =  336;

R(15)  =  R(14) + R(13)  =  504.

Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство про­грамм, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи, равно 504.

Ответ: 504.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 1 в число 15 так, чтобы тра­ек­то­рия вы­чис­ле­ний со­дер­жа­ла числа 10 и 12, равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 1 в число 10, ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 10 в число 12, и ко­ли­че­ства про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 12 в число 15.

Как по­ка­за­но в ос­нов­ном ре­ше­нии, ко­ли­че­ство про­грамм, пре­об­ра­зу­ю­щих число 1 в число 10, равно 84.

Из числа 10 можно по­лу­чить число 12 с по­мо­щью двух про­грамм: 11 и 2.

Из числа 12 можно по­лу­чить число 15 с по­мо­щью трех про­грамм: 111, 12 и 21.

Таким об­ра­зом, общее ко­ли­че­ство про­грамм равно 84 · 2 · 3  =  504.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние на языке Python.