Тип Д13 B13 № 10505 
Поиск путей в графе. Подсчёт путей с обязательной и избегаемой вершинами
i
На рисунке представлена схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К, Л, М. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в город М, проходящих через город Л, но не проходящих через город Е?
Решение. Количество путей до города Х = количество путей добраться в любой из тех городов, из которых есть дорога в Х.
При этом если путь должен не проходить через какой-то город, нужно просто не учитывать этот город при подсчёте сумм. А если город наоборот обязательно должен лежать на пути, тогда для городов, в которые из нужного города идут дороги, в суммах нужно брать только этот город.
С помощью этого наблюдения посчитаем последовательно количество путей до каждого из городов:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Д = 1 + 1 = 2
В = А + Б + Г = 1 + 1 + 2 = 4
Е = Б + В = 1 + 4 = 5
З = В + Г + Д = 4 + 2 + 1 = 7
Ж = В + З = 4 + 7 = 11
И = Ж + З = 11 + 7 = 18
К = И = 18
Л = И = 18
М = Л = 18.
Ответ: 18.
Приведем другое решение.
Заметим, что из города А в город М можно добраться только через город И. Из города И в город М есть только один путь, проходящий через город Л — путь И—Л—М. Следовательно, количество путей из города А в город М, проходящих через город Л, но не проходящих через город Е, равно количеству путей из города А в город И, не проходящих через город Е. Найдем это количество путей:
А = 1
Б = А = 1
Д = А = 1
Г = А + Д = 1 + 1 = 2
В = А + Б + Г = 1 + 1 + 2 = 4
З = В + Г + Д = 4 + 2 + 1 = 7
Ж = В + З = 4 + 7 = 11 (Е не учитываем, так как путь не должен проходить через Е)
И = Ж + З = 11 + 7 = 18 (Е не учитываем, так как путь не должен проходить через Е).
Следовательно, количество путей из города А в город М, проходящих через город Л, но не проходящих через город Е, равно 18.
Ответ: 18
PDF-версии: