Тип Д23 № 10486 
Логические уравнения. Системы логических уравнений, содержащие однотипные уравнения
i
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ... x6, y1, y2, ... y6, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
(x1 ∨ y1) → (x2 ∧ y2) = 0
(x2 ∨ y2) → (x3 ∧ y3) = 0
...
(x5 ∨ y5) → (x6 ∧ y6) = 0
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, ... x6, y1, y2, ... y6, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Решение. Избавимся от импликаций в уравнениях, получим:
(¬ x1 ∧ ¬ y1) ∨ (x2 ∧ y2) = 0
(¬ x2 ∧ ¬ y2) ∨ (x3 ∧ y3) = 0
...
(¬ x5 ∧ ¬ y5) ∨ (x6 ∧ y6) = 0
Рассмотрим первое уравнение. Выражение истинно только если выполняется хотя бы одно из двух: либо x1 = y1 = 0, либо x2 = y2 = 1. Во всех остальных случаях оно ложно. А именно (x1, y1) принимает одно из значений: (0, 1), (1, 0), (1, 1), а (x2, y2) из: (0, 0), (0, 1), (1, 0). Решением же всего уравнения являются комбинации всех допустимых значений (x1, y1) со всеми допустимыми значениями (x2, y2). Несложно понять, что всего таких комбинаций будет 9.
Теперь рассмотрим второе уравнение. Аналогично с первым, оно будет иметь 9 решений.
Теперь рассмотрим систему из первого и второго уравнения. У них есть по 9 решений, решением же всей системы будут всевозможные комбинации решений первого уравнения и второго такие, что (x2, y2) в них совпадают. Совпадают значения (0, 1) и (1, 0). Таким образом, (x1, y1) может принимать 3 значения, (x2, y2) — 2 значения, а (x3, y3) — 3. И всего получается 
решений.
Поймём, что после добавления третьего уравнения, (x3, y3) тоже сможет принимать только 2 значения, как и (x2, y2), а (x1, y1) и (x4, y4) смогут принимать по 3 значения.
Таким образом, для всей системы решением будут такие значения переменных, где (x1, y1) принимает значения (0, 1), (1, 0) или (1, 1), (x6, y6) принимает значения (0, 0), (0, 1) или (1, 0), а все остальные — (0, 1) или (1, 0).
Всего таких комбинаций 
Ответ: 144
PDF-версии: