≡ информатика
сайты - меню - вход - новости




Школа экспертов
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»

Ниже представлены ученические решения экзаменационных заданий. Оцените каждое из них в соответствии с критериями проверки заданий ЕГЭ. После нажатия кнопки «Проверить» вы узнаете правильный балл за каждое из решений. В конце будут подведены итоги.

Задание 7387
Задание 12442


Задание № 7387

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 21.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может

встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

 

1. а) При каких значениях числа S Петя может выиграть первым ходом? Укажите все такие значения.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

 

2. Укажите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем (а) Петя не может выиграть первым ходом, но (б) Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня. Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.

 

Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.


Пояснение

1. а) Петя может выиграть, если S = 11, …, 21. Во всех этих случаях достаточно удвоить количество камней. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 21 камня.

1. б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 10 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 11 или 20 камней. В обоих случаях Ваня удваивает количество камней и выигрывает в один ход.

2. Возможные значения S: 5 и 9. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 10 камней: в первом случае удвоением, во втором добавлением одного камня. Эта позиция разобрана в п. 1 б. В ней игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть Петя) следующим ходом выиграет.

3. Возможное значение S: 8. После первого хода Пети в куче будет 9 или 16 камней. Во втором случае Ваня удвоит количество камней и выиграет первым ходом. Ситуация, когда в куче 9 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.

В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчёркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).

 

Положения после очередных ходов
И.п.1-й ход Пети (разобраны все ходы)1-й ход Вани (только ход по стратегии)2-й ход Пети (разобраны все ходы)2-й ход Вани (только ход по стратегии)
88 + 1 = 9 9 + 1 = 1010 + 1 = 11 11*2 = 22
10*2 = 2020*2 = 40
8*2 = 1616*2 = 32

 

 



Указания по оцениванию.

 

В задаче от ученика требуется выполнить 3 задания. Их трудность возрастает. Количество баллов в целом соответствует количеству выполненных заданий (подробнее см. ниже).

Ошибка в решении, не искажающая основного замысла, например, арифметическая ошибка при вычислении количества камней в заключительной позиции, при оценке решения не учитывается.

Первое задание считается выполненным полностью, если выполнены полностью оба пункта а) и б). Пункт а) считается выполненным полностью, если правильно указаны все позиции, в которых Петя выигрывает первым

ходом и указано, каким должен быть первый ход. Пункт б) считается выполненным, если правильно указана позиция, в которой Ваня выигрывает первым ходом и описана стратегия Вани, т.е. показано, как Ваня может получить кучу, в которой содержится нужное количество камней при любом ходе Пети.

Первое задание считается выполненным частично, если (1) правильно указаны все позиции, в которых Петя выигрывает первым ходом (пункт а), (2) правильно указана позиция, в которой Ваня выигрывает первым ходом; (3) явно сказано, что при любом ходе Пети Ваня может получить кучу, которая содержит нужное для выигрыша количество камней.

Второе задание выполнено, если правильно указаны обе позиции, выигрышная для Пети и описана соответствующая стратегия Пети — так, как это написано в примере решения или другим способом, например, с помощью дерева всех возможных партий.

Третье задание выполнено, если правильно указана позиция, выигрышная для Вани и построено дерево всех партий, возможных при Ваниной стратегии. Должно быть явно сказано, что в этом дереве в каждой позиции, где должен ходить Петя, разобраны все возможные ходы, а для позиций, где должен ходить Ваня – только ход, соответствующий стратегии, которую выбрал Ваня. Во всех случаях стратегии могут быть описаны так, как это сделано в примере решения или другим способом.

 

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Выполнены вто­рое и тре­тье задания. Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью или частично. Здесь и далее до­пус­ка­ют­ся ариф­ме­ти­че­ские ошибки, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют сути ре­ше­ния и не при­во­дят к не­пра­виль­но­му ответу3
Не вы­пол­не­ны условия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих условий.

1. Тре­тье за­да­ние вы­пол­не­но полностью.

2. Пер­вое и вто­рое за­да­ния вы­пол­не­ны полностью.

3. Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью или частично, для вто­ро­го и тре­тье­го за­да­ний ука­за­ны пра­виль­ные зна­че­ния S

2
Не вы­пол­не­ны условия, поз­во­ля­ю­щие поставить 3 или 2 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих условий.

1. Пер­вое или вто­рое за­да­ние вы­пол­не­но полностью.

2. Во вто­ром за­да­нии пра­виль­но ука­за­но одно из двух воз­мож­ных зна­че­ний S, и для этого зна­че­ния ука­за­на и обос­но­ва­на вы­иг­рыш­ная стра­те­гия Пети.

3. Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но частично, и для од­но­го из осталь­ных за­да­ний пра­виль­но ука­за­ны зна­че­ния S.

4. Для вто­ро­го и тре­тье­го за­да­ний пра­виль­но ука­за­ны зна­че­ния S

1
Не вы­пол­не­но ни одно из условий, поз­во­ля­ю­щих по­ста­вить 3, 2 или 1 балл0
Максимальный балл3


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:

Пример 3.

Оцените это решение в баллах:



Задание № 12442

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 77 или больше камней.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальных позициях (6, 36), (7, 35), (9, 34) выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно удвоить количество камней во второй куче.

 

      Задание 1. Для каждой из начальных позиций (6, 35), (8, 34) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт

к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

 

      Задание 2. Для каждой из начальных позиций (6, 34), (7, 34), (8, 33) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

 

      Задание 3. Для начальной позиции (7, 33) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.


Пояснение

Задание 1. В начальных позициях (6, 35), (8, 34) выигрышная стратегия есть у Вани. При начальной позиции (6, 35) после первого хода Пети может получиться одна из следующих четырёх позиций: (7, 35), (12, 35), (6, 36), (6, 70). Каждая из этих позиций содержит менее 77 камней. При этом из любой из этих позиций Ваня может получить позицию, содержащую не менее 77 камней, удвоив количество камней во второй куче. Для позиции (8, 34) после первого хода Пети может получиться одна из следующих четырёх позиций: (9, 34), (16, 34), (8, 35), (8, 68). Каждая из этих позиций содержит менее 77 камней. При этом из любой из этих позиций Ваня может получить позицию, содержащую не менее 77 камней, удвоив количество камней во второй куче. Таким образом, Ваня при любом ходе Пети выигрывает своим первым ходом.

 

      Задание 2. В начальных позициях (6, 34), (7, 34) и (8, 33) выигрышная стратегия есть у Пети. При начальной позиции (6, 34) он должен первым ходом получить позицию (6, 35), из начальных позиций (7, 34) и (8, 33) Петя после первого хода должен получить позицию (8, 34). Позиции (6, 35) и (8, 34) рассмотрены при разборе задания 1. В этих позициях выигрышная стратегия есть у игрока, который будет ходить вторым (теперь это Петя). Эта стратегия описана при разборе задания 1. Таким образом, Петя при любой игре Вани выигрывает своим вторым ходом.

 

      Задание 3. В начальной позиции (7, 33) выигрышная стратегия есть у Вани. После первого хода Пети может возникнуть одна из четырёх позиций: (8, 33), (7, 34), (14, 33) и (7, 66). В позициях (14, 33) и (7, 66) Ваня может выиграть одним ходом, удвоив количество камней во второй куче. Позиции (8, 33) и (7, 34) были рассмотрены при разборе задания 2. В этих позициях у игрока, который должен сделать ход (теперь это Ваня), есть выигрышная стратегия. Эта стратегия описана при разборе задания 2. Таким образом, в зависимости от игры Пети Ваня выигрывает на первом или на втором ходу.

В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) выделены жирным шрифтом.

 

Рис. 1. Дерево всех партий, возможных при описанной стратегии Вани. Ходы Пети показаны пунктирными стрелками, ходы Вани показаны сплошными стрелками. Заключительные позиции обозначены прямоугольником.



В за­да­че от уче­ни­ка тре­бу­ет­ся вы­пол­нить три задания. Их труд­ность возрастает. Ко­ли­че­ство бал­лов в целом со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству вы­пол­нен­ных за­да­ний (подробнее см. ниже). Ошиб­ка в решении, не ис­ка­жа­ю­щая ос­нов­но­го за­мыс­ла и не при­вед­шая к не­вер­но­му ответу, на­при­мер ариф­ме­ти­че­ская ошиб­ка при вы­чис­ле­нии ко­ли­че­ства кам­ней в за­клю­чи­тель­ной позиции, при оцен­ке ре­ше­ния не учитывается. Пер­вое за­да­ние счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным полностью, если вы­пол­не­ны пол­но­стью оба пункта: а) и б). Пункт а) счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным полностью, если пра­виль­но ука­за­ны все позиции, в ко­то­рых Петя вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, и указано, каким дол­жен быть пер­вый ход. Пункт б) счи­та­ет­ся выполненным, если пра­виль­но ука­за­на позиция, в ко­то­рой Ваня вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом, и опи­са­на стра­те­гия Вани, т. е. показано, как Ваня может по­лу­чить кучу, в ко­то­рой со­дер­жит­ся нуж­ное ко­ли­че­ство камней, при любом ходе Пети. Пер­вое за­да­ние счи­та­ет­ся вы­пол­нен­ным частично, если одновременно:

1) пра­виль­но ука­за­ны все позиции, в ко­то­рых Петя вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом;

2) пра­виль­но ука­за­на позиция, в ко­то­рой Ваня вы­иг­ры­ва­ет пер­вым ходом;

3) явно указано, что при любом ходе Пети Ваня может по­лу­чить кучу, ко­то­рая со­дер­жит нуж­ное для вы­иг­ры­ша ко­ли­че­ство камней, но при этом не указано, каким имен­но ходом вы­иг­ры­ва­ет Ваня.

Второе за­да­ние выполнено, если пра­виль­но ука­за­ны обе позиции, вы­иг­рыш­ные для Пети, и опи­са­на со­от­вет­ству­ю­щая стра­те­гия Пети — так, как это на­пи­са­но в при­ме­ре решения, или дру­гим способом, на­при­мер с по­мо­щью де­ре­ва всех партий, воз­мож­ных при вы­бран­ной стра­те­гии Пети.

Третье за­да­ние выполнено, если пра­виль­но ука­за­на позиция, вы­иг­рыш­ная для Вани, и по­стро­е­но де­ре­во всех партий, воз­мож­ных при Ва­ни­ной стратегии. В этом де­ре­ве в каж­дой позиции, где дол­жен хо­дить Петя, долж­ны быть разо­бра­ны все воз­мож­ные ходы, а для позиций, где дол­жен хо­дить Ваня, — толь­ко ход, со­от­вет­ству­ю­щий стратегии, ко­то­рую вы­брал Ваня. Во всех слу­ча­ях стра­те­гии могут быть опи­са­ны так, как это сде­ла­но в при­ме­ре решения, или дру­гим способом

 

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния заданияБаллы
Выполнены вто­рое и тре­тье задания. Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью или частично. Здесь и далее в ре­ше­ни­ях до­пус­ка­ют­ся ариф­ме­ти­че­ские ошибки, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют сути ре­ше­ния и не при­во­дят к не­пра­виль­но­му ответу.3
Не вы­пол­не­ны условия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 балла,

и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих условий.

− Тре­тье за­да­ние вы­пол­не­но полностью.

− Пер­вое и вто­рое за­да­ния вы­пол­не­ны полностью.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но пол­но­стью или частично, для вто­ро­го и тре­тье­го за­да­ний ука­за­ны пра­виль­ные зна­че­ния S.

2
Не вы­пол­не­ны условия, поз­во­ля­ю­щие по­ста­вить 3 или 2 балла, и вы­пол­не­но одно из сле­ду­ю­щих условий.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но полностью.

− Во вто­ром за­да­нии пра­виль­но ука­за­но одно из двух воз­мож­ных зна­че­ний S, и для этого зна­че­ния ука­за­на и обос­но­ва­на вы­иг­рыш­ная стра­те­гия Пети.

− Пер­вое за­да­ние вы­пол­не­но частично, и для од­но­го из осталь­ных за­да­ний пра­виль­но ука­за­но зна­че­ние S.

− Для вто­ро­го и тре­тье­го за­да­ний пра­виль­но ука­за­ны зна­че­ния S.

1
Не вы­пол­не­но ни одно из условий, поз­во­ля­ю­щих по­ста­вить 3, 2 или 1 балл.0
Максимальный балл3


Пример 1.

Оцените это решение в баллах:

Пример 2.

Оцените это решение в баллах:



Наверх
Вернуться на основную страницу «Школы экспертов»